Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, изоморфизм и определяется тождеством относительно х 6 E и х 6 Е*
(и(х), й(х')) = {зс, х'). (16)
Если EnF обладают конечными базисами и, значит, отожде-ствимы каждое со своим вторым сопряженным, то и есть отображение, сопряженное к tU, и, значит, изомбрфизм, контрагредиент-ный к и.
Упражнения. 1) Пусть А — кольцо без делителей нуля. Показать, что если E — Л-модуль, имеющий ненулевой аннулятор, то сопряженный модуль Е* сводится к 0.
2) Показать, что модуль, сопряженный к полю Q рациональных чисел (рассматриваемому как Z-модуль), сводится к 0.
3) Показать, что прообраз нуля относительно канонического отображения х -* х А-модуля E в его второй сопряженпый E** есть
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
241
подмодуль E0 в Е, ортогональный к Е*. Привести пример, где Е* и E0
не сводились бы к 0. [Рассмотреть модуль, содержащий элемент, в анну-ляторе которого имеется элемент, не являющийся делителем нуля.]
4) Пусть Е — модуль, M — его подмодуль и M' — подмодуль в E*, ортогональный к М. Пусть, далее, х'м для каждой линейной формы х' на E есть сужение х' на М\ отношение х'м = у'ы равносильно отношению х' —у'?М'\ х' -> х'м есть линейное отображение Е* в модуль М*, сопряженный к M, а ассоциированное взаимно однозначное отображение есть изоморфизм Е*!М' в М*. Привести пример, где этот изоморфизм не отображал бы Е*/М' на M*, т. е. где существовала бы линейная форма на М, не продолжаемая до линейной формы на Е. [Принять E=A, где А — кольцо целостности, и в качестве M взять главный идеал кольца А, отличный от А.]
5) Пусть E означает Л-модуль, & E0 — его подмодуль, ортогональный кE*; привести пример, где ?0={0), но существует подмодуль M модуля E такой, что подмодуль М" в Е, ортогональный к подмодулю M' в E*, ортогональному к М, отличен от М. [Cm. упражнение 4.]
6) Пусть E — модуль, являющийся прямой суммой своих подмодулей M и N. Обозначим через E0 (соответственно M0, N0) подмодуль в E (соответственно в M, N), ортогональный к Е* (соответственно к M*, N*); пусть, далее, M' (соответственно N') — подмодуль в E*, ортогональный к M (соответственно к N), и М" (соответственно N’) — подмодуль в Е, ортогональный к M' (соответственно к N'). Показать, что E0=M0+ N0, M0=MptN", N0=N П М”, М"=М+N0=M+Ea.
7) Пусть V и W — подпространства произвольного векторного пространства Е, а V' и W — ортогональные к ним подпространства сопряженного пространства Е*. Показать, что подпространством в E*, ортогональным к V Г) И7, является V'-\-W'.
8) Привести пример модуля Е, обладающего подмодулями M и N такими, что подмодуль в E*, ортогональный к M f) N, отличен от М'-\- N', где M' и N' — подмодули в E*, ортогональные соответственно кМ Vt N. [Взять E=As, где А — кольцо без делителей нуля, обладающее единицей, но не допускающее тела левых отношений (см. гл. I, § 9, упражнение 9).]
*9) Пусть E — бесконечномерное векторное пространство. Показать, что:
а) Капоническое отображение х -> х пространства E в E** есть изоморфизм ? в ?**, но не отображает E на E**.
б) В Е* существует бесконечномерное подпространство V такое, что подпространство в E*, ортогональное к подпространству VbE, ортогональному к V, отлично от V'. [Припять за V' подпространство, порожденное координатными формами, соответствующими базису пространства E.] Вывести отсюда существование такого бесконечного семейства (F1) подпространств пространства Е, что подпространство
Н. Бурбаки
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II. § 4
в E*, ортогональное к ^ F1, отлично от ^ гДе V1 — подпро-
I 1
странство в E*, ортогональное к F1.
в) Показать, что в Е* существуют такие бесконечномерные подпространства F' и W, что подпространство в Е, ортогональное к F' П W', отлично от F+FF, где F и FF — подпространства в Er ортогональные соответственно к F' и W. [Использовать б).]
10) Показать, что теорема 2 для частного случая конечной системы линейных уравнений есть следствие теоремы 3. Напротив, для линейной системы (7) конечного ранга, образованной бесконечным множеством уравнений, критерии, получаемые путем применения теоремы 2, с одной стороны, и теоремы 3, с другой (если принять за и отображение х ч- ((», »t>) и взять Jz0=(T)l)), различны. [Заметить, что при
каноническом отображении на свое второе сопряжение отождествляется с подпространством сопряженного к K1s и что, с другой стороны, подпространство сопряженного к K1s, на котором аннулируется 1и, имеет факторразмерностъ г.]
11) Пусть и — линейное отображение модуля E в модуль F и V=tU', показать, что для каждого подмодуля M модуля E подмоду-
-1
лемв E*, ортогональным к и (M), служит v(М'), где M' — подмодуль в E*, ортогональный к М\ для каждого подмодуля N' модуля F*
-і
подмодулем в E, ортогональным к v(N'), служит и (N), где N-подмодуль в Е, ортогональный к N'.
12) Пусть E ж F — векторные пространства, и — линейное отображение EbF, V—подпространство пространства E и F' — подпространство пространства E*, ортогональное к F. Показать, что сопряженное к m(F) изоморфно факторпространству {и(Е*)1(У'Г\'и(Е*)). Если W— подпространство в F*, для которого 1U(W) конечномерно, a W — подпространство в F, ортогональное к W,. то 1U (W) изоморфно сопряженному к факторпространству U(E)KW Г) и(Е)).
