Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда E есть прямая сумма конечного семейства своих подмодулей, имеет место следующее более точное предложение:
Предложение 5. Пусть E — модуль, являющийся прямой суммой конечного семейства (JZi)iсвоих подмодулей, и Ni для каждого индекса і означает подмодуль 2 Mj, дополнительный к Mi.
Іфг
Тогда модуль E*, сопряженный к Е, есть прямая сумма своих подмодулей NI, ортогональных соответственно к Ni; Ni для каждого индекса і изоморфно модулю M*, сопряженному к Mi, и подмодуль М\, ортогональный к Mi, равен 2 Nj.
ІФІ
Это предложение вытекает из предложения 4 § 2 и его следствия, если принять во внимание, что определенные там изоморфизмы являются здесь изоморфизмами рассматриваемых правых А-модулей.
В соответствии со сказанным в п° 4 § 2, модуль M*, сопряженный к Mi, часто отождествляется с подмодулем Ni посредством отождествления каждой линейной формы и на Mi с (однозначно определенной) линейной формой X , служащей продолжением и на E и аннулирующейся на Ni.
4 двойственность 227
4. Координатные формы. Сопряженные базисы
Пусть 2? — унитарный Л-модуль, обладающий конечным базисом (at)так как E есть прямая сумма п своих подмодулей, изоморфных As, то, в силу предложений 1 и 5, сопряженный модуль Е* есть прямая сумма п своих подмодулей, изоморфных Ad. Точнее, обозначим через а{ для каждого индекса і линейную
П
форму на E такую, что а\(х) для каждого х = 2 ьА Є-E1 равно
г—і
его компоненте а[ называется і-й координатной формой (относительно базиса (а*)). а[ образуют базис сопряженного модуля E*; действительно, для каждой линейной формы х' на E
п п п
имеем х' (х) = 2 \ix> Ю = 2 «і (х) х' («і), т. е. х' = 2 а\х' (аЛ\
г—I i=l i=t
п
обратно, для каждой линейной формы y' = 2 имеем у' (at) = (};,
г= і
поскольку a'i (at) = є (единице кольца А) и а) (аг) = 0 для всех j Ф і. Базис (a'i) модуля Е* называется сопряженным к базису (а{) модуля Е\ согласно следствию 2 предложения 3 § 2, он однозначно определяется условиями
{av a)) = bij (I<i<n, I< /сп), (5)
где біз- есть функция пары (і, /), равная є при j = і и 0 при j Ф г, называемая кронекеровским символом.
П Tl
Для любых двух элементов X — 2 Iiаі Є.Е и х' = 2 a'i ^ g Е*
г=1 г=1
имеем
п
(6)
г=1
Замечания. 1) При отождествлении модуля, сопряженного к Л™, с модулем Ad базис, сопряженный к каноническому базису (§ 1,п° 8) модуля Л™, отождествляется с каноническим базисом модуля And.
2) В случае, когда E есть правый Л-модуль с базисом-(aj)1<i<n, формула (6) заменяется формулой
П
<х', X)= 2 1=1
15*
228
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. XX, § 4
Tl
справедливой для любой пары элементов ж= а{^і ? Е, х' =
І=і
= } Iyi ?Е*. і—1
Соотношения (5) позволяют установить, что каноническое отображение х—>х модуля E в его второй сопряженный E** есть в этом случае изоморфизм E на Е**‘, действительно, так как ((Ii, а)) = (а{, a'j) = bij, каковы бы ни были і и то (а;) есть базис в E**, сопряженный к (а\). Тогда E отождествляют с E** посредством изоморфизма х—>х, что позволяет называть (а{) базисом, сопряженным к (а\).
В случае, когда E обладает бесконечным базисом (at), можно по-прежнему определить для каждого индекса і координатную форму а', относящую каждому х Є E его 1-ю компоненту относительно базиса (а). Ho семейство (а'), всё еще являющееся свободным, уже не будет теперь базисом модуля В*.
5. Двойственность для конечномерных векторных
пространств
Результаты, полученные в п° 4, применимы, в частности, к конечномерным векторным пространствам:
Предложение 6. Сопряженное к п-мерному левому векторному пространству E над телом К есть п-мерное правое векторное пространство над К\ каноническое отображение х —> х пространства E в его второе сопряженное E** есть изоморфизм E на E**.
Значит, если при этом К коммутативно, то пространство E*, сопряженное к векторному пространству E над К конечной размерности п, изоморфно Е.
Можно показать, что в этом случае при в > 1 не существует
* канонического изоморфизма E на его сопряженное, понимая под этим
изоморфизм, зависящий ляшь от структуры векторного пространства ? (см. упражнение 16). В главе IX будут изучены изоморфизмы E на E*, тесно связанные с теорией билипсйиых форм на EXE.
6
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
229
Предложениє 7. Пусть E — векторное пространство конечной размерности п\ если V — его подпространство размерности р, то подпространство V' сопряженного пространства E*, ортогональное к V, имеет размерность п — р; подпространство пространства Е, ортогональное к V', совпадает с V.
Действительно, V' изоморфно сопряженному к Е/V (предложение 4), а это факторпространство имеет размерность п — р, значит, согласно предложению 6, и V' имеет размерность п — р. Отсюда (вследствие отождествимости E с E**) вытекает, что подпространство V" пространства Е, ортогональное к V', имеет размерность р; а так как оно содержит V, которое тоже имеет размерность р, то они совпадают.
Предложение 8. Пусть VuW — подпространства конечномерного векторного пространства Е, а V' и W' — ортогональные к ним подпространства в Е*. Подпространством в E*, ортогональным к V-\- W, служит V'f]W; подпространством в E*, ортогональным к V[\W, служит V' -\-W'.