Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть E — левый Л-модуль и Е* — модуль, сопряженный к Е; каждой паре элементов х?Е, х 6 Е* соответствует элемент х (х) кольца А; этот элемент часто обозначают (х,х'). Отображение (х, Xі)—>(х,х') называется канонической билинейной
*) Далее в этом трактате для векторных пространств, наделенных топологией, будет определено понятие «сопряженного пространства», зависящего от этой топологии и отличного от определенного здесь. Мы предостерегаем читателя против опрометчивого распространения на «топологическое» сопряженное пространство свойств «алгебраического» соприженного, устанавливаемых в этом параграфе.
224
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. И, § 4
формой*), определенной на EXE*; имеем тождественно
(х -J- у, х') — (х, У)+ {у, У), (х, У +у') = (х, У) +-(.г-, у), (ах, У) — а {х, У).
{,с, х'а) = У) и.
(1)
(2)
(3)
(4)
Замечание. Модуль E*, сопряженный к правому Л-модулю Е, есть левый Л-модуль; значение х' (х) канонической билинейной формы на EXЕ* записывают тогда (х', х), а формулы, соответствующие (3) и (4), принимают вид (х', ха) = (х', ж) а и (ax', х) =а(х', х). В случае, когда А коммутативно, можно пользоваться и тем и другим обозначением.
Каждую линейную форму У на E можно рассматривать как частичное отображение (Теор. мн., Рез., § 3, п° 13) х—>{х,х'), порожденное канонической билинейной формой.
Точно так же для каждого х ? E частичное отображение х’—>(х,х') является линейной формой на правом 4-модуле E*; обозначая ее х, имеем тождественно (х, У) = (х, У); непосредственно ясно, что х—> х есть (называемое каноническим) линейное отображение модуля E в модуль E**, сопряженный к модулю E*, сопряженному к E (и называемый вторым сопряженным к Е).
В случае, когда А обладает единицей е, каноническоэ отображение модуля As в его второй сопряженный, в силу предложения І, есть тождественное отображение As па себя; поскольку каждая линейная форма ж' на As отождествнма с элементом ?'=аг' (є), канонической билинейной формой является отображение (?, ?') ->¦ Il'.
2. Ортогональность
Определение 2. Пусть E — модуль и E* — сопряженный модуль; элементы х^Е и У ? Е* называются ортогональными, если (х, х')=0.
Множества MdE nM'dE* называются ортогональными, осли ортогональны любые два элемента х?М и У ^M'. В част-
*) Общее понятие билинейной формы будет определено и изучено в гли-
вах III и IX.
з
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
225
ности, говорят, что х’?Е* (соответственно х?Е) ортогонально к M (соответственно к M'), если оно ортогонально к любому элементу из M (соответственно M'). Если х' и у' ортогональны к М, то в силу (2) и (4) то же верно для х' у', а также для х'а при каждом А; этим оправдывается следующее определение:
Определение 3. Пусть M — произвольное множество элементов из E (соответственно M' — произвольное множество элементов из E*). Полным подмодулем, ортогональным к M (соответственно к M') (или, допуская вольность речи, просто подмодулем, ортогональным к M (соответственно к M'), если можно не опасаться путаницы), называется множество тех х' ? Е* (соответственно тех х?Е), которые ортогональны к M (соответственно к M').
По определению линейной формы, подмодуль модуля E*, ортогональный к Е, сводится к 0; подмодулем в E*, ортогональным к {0}, служит всё HF.
Предложение 2. Пусть MuN — подмножества модуля E такие, что MdN; если M' и N' — подмодули сопряженного модуля E*, ортогональные соответственно к MuN, то N'd M'.
Предложение 3. Пусть (Л/,,) — произвольное семейство подмножеств модуля Е; подмодуль, ортогональный к объединению
всех Mi, есть пересечение pj М[ ортогональных к ним подмоду-
I
лей М[; он есть также подмодуль, ортогональный к подмодулю в Е, порожденному объединением всех M1.
Предложения 2 и 3 являются непосредственными следствиями определения 3. Два аналогичных предложения относительно подмодулей модуля Е, ортогональных к подмножествам сопряженного модуля E*, мы предоставляем сформулировать читателю.
Если M — подмодуль модуля Е, M' — подмодуль сопряженного , модуля E*, ортогональный к М, и М" — подмодуль в Е, ортогональ-
ный к M', то M CL М"; но может случиться, что M Ф M' (см. упражнения 3 и 5).
15 Н. Бурбаки
226
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, §4
3. Сопряженный к фактормодулю. Сопряженный
к прямой сумме
Предложение 4. Пусть E — А-модулъ, M — его подмодуль а ф — канонический гомоморфизм E на Е/М. Отображение, относящее каждой линейной форме и на Е/М линейную форму «оф на Е, есть изоморфизм модуля, сопряженного к Е/М, на ортогональный к M подмодуль M' модуля Е*.
Это предложение сразу следует из предложения 1 § 2, если заметить, что определенный в нем канонический изоморфизм и—>иоф есть также изоморфизм структур правого А-модуля в сопряженном к Е/М и в M'.
Точно так же предложение 3 § 2 показывает, что если модуль E является прямой суммой семейства {М%)хсь своих подмодулей,
то сопряженный модуль Е* изоморфен произведению [] М% модуль
лей М%, сопряженных к Mx- В частности, модуль, сопряженный К 4« изоморфен (в силу предложения 1) модулю Ad-
