Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
есть прямая сумма. Для получения равенства (2) в общем случае достаточно применить этот результат к подпространствам M1 = = Mf(Mf)N) я N1=Nf(Mf)N) факторпространства Ej(Mf)N), приняв во внимание формулу (1), дающую размерность этих подпространств; действительно, имеем M1H-Wi-(O) и M1jTN1 = = (MArN)I(Mf)N) (гл. I, § 6, теорема 6).
Предложение 8. Если MuN — подпространства векторного пространства Е, имеющие конечную факторразмерность, то Mf) N и MjrN также имеют конечную факторразмерность и
codim (М + 7V)-f codim (Мf| N) = codim M + codim TV. (3)
Действительно, Mf(Mf)N) изоморфно (MjrN)IN, т. е. подпространству пространства Е/N, и, следовательно (предложение 6), конечномерно. Отсюда вытекает конечномерность про-
СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
2 ItJ
странства El = El(M^N). В обозначениях предложения 7 имеем:
(IimM1 = codim (Mf) Ar) — codim М, dim N1 = Codim(MfliV) — codim А, dim (M1 + N1) = codim (Mf)-W)- codim (М + jV);
внося эти выражения в соотношение dim (M1 + Ar1) = dim M1 + dim N1, получаем (3).
Одномерные (соответственно двумерные) подпространства векторного пространства E над произвольным телом К, по аналогии с языком классической аналитической геометрии, часто называют прямыми (соответственно плоскостями); с другой стороны, подпространство H векторного пространства Е, имеющее факторраз-мерность 1, называют гиперплоскостью *). Можно также определить гиперплоскости как максимальные элементы упорядоченного по включению множества <5 всех подпространств векторного пространства Е, отличных от Е. Действительно, между подпространствами пространства Е, содержащими заданное его подпространство H, и подпространствами факторпространства Е/Н имеется взаимно однозначное соответствие (гл. 1, § 6, теорема 6); поэтому для максимальности H необходимо и достаточно, чтобы Е/Н не содержало никакого подпространства, отличного от {0} и самого Е/Н, а это означает, что Е/Н одномерно.
Заметим, что гиперплоскости векторного пространства конечной размерности п— это его подпространства размерности п—1.
Предложение 9. Каждое подпространство V’ векторного пространства E над телом К есть пересечение гиперплоскостей, содержащих это подпространство.
Достаточно показать, что для каждого х(J F существует гиперплоскость, содержащая F и не содержащая х. Пересечение V с прямой Kx сводится к 0, иными словами. F1--F-l^t есть
*) В Приложении II к этой главе словам «прямая», «плоскость» и «гиперплоскость» будет придан более широкий смысл, а то, что было названо выше этими словами, будет именоваться соответственно однородной прямой, однородной плоскостью и однородной гиперплоскостью. Ho впредь до Приложения II можно не опасаться путаницы, и потому прилагательное «однородная» будет нами опускаться.
220 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 3
прямая сумма. Пусть W — подпространство, дополнительное к V1; E есть прямая сумма подпространств H=VjrW и Kx, иными словами, H есть гиперплоскость, содержащая V и не содержащая х.
4. Ранг линейного отображения
Пусть E Vi F — векторные пространства над телом К и и —
линейное отображение E в F. и (E) изоморфно векторному про-
-1
странству EjH, где Н=и(0); значит, и (E) изоморфно подпространству GeE, дополнительному к H (предложение 5), а сужение и на G есть изоморфизм G на и (G) = u (E). Следовательно, если (at) — базис в G, элементы и (at) образуют базис в и (E).
Определение 3. Если линейное отображение и векторного пространства E в векторное пространство F таково, что подпространство и (E) имеет в F конечную размерность, то последняя называется рангом и и обозначается Q (и).
В случае, когда и (E) бесконечномерно, говорят, что и — линейное отображение бесконечного ранга.
Предложение 10. Ранг линейного отображения и простран-
-1
ства EeF равен факторразмерности подпространства и (0) в E.
Это сразу вытекает из сделанных выше замечаний. Следовательно,
dim и (E) =CodhnE и (0) = Q (и), (4)
если все три числа конечны. В случае, когда E конечномерно, можно также написать
-1
q (и) = dim E — dim и (0). (5)
Предложение 11. Пусть EuF — конечномерные векторные
пространства; для каждого линейного отображения и пространства EeF имеем
@ (w)< min (dim/?, dim/1); (6)
для того чтобы о (и) = dim E, необходимо и достаточно, чтобы
и было изоморфизмом EeF; для того чтобы Q (и) = dim F, необхо димо и достаточно, чтобы и отображало E на F.
Это — следствие определения 3 и предложения 10.
4 СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 221
Следствие. Пусть E — векторное пространство конечной размерности п\ следующие четыре свойства его эндоморфизма и равносильны'.
а) и — автоморфизм пространства E',
б) и — взаимно однозначное отображение E в Е\
в) и — отображение E на E;
г) и — линейное отображение ранга п.
Напротив, когда E бесконечномерно, его эндоморфизм может быть взаимно однозначным или отображающим R на Е, не будучи автоморфизмом (упражнение 8).
Упражнения. 1) Показать, что если E — векторное пространство над телом К, содержащим бесконечное число элементов, то множество всех систем образующих этого пространства не индуктивно относительно отношения порядка 3. [Образовать убывающую последовательность (S71) систем образующих пространства Е, имеющую пустое пересечение.]
