Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем далее, что в векторном пространстве E в) влечет а); достаточно доказать, что минимальная система В образующих пространства E является свободным множеством. Ho в противном случае, в силу предложения 1, существовало бы х?В, принадлежащее подпростравству, порожденному множеством S — = і?ПС{ж}; тем самым S служило бы системой образующих для Л\ что противоречит предположению.
Наконец, в векторном пространстве E б) влечет а) в силу следующего более общего предложения:
Предложение 4. Если S — система образующих векторного пространства Е, то каждое ее максимальное свободное подмножество есть базис этого пространства.
Действительно, пусть В — максимальное свободное подмножество множества S; если бы В не было системой образующих пространства Е, то S не содержалось бы в порожденном В подпространстве, так что существовало бы х g S, не принадлежащее этому подпространству; но тогда, в силу предложения 2, В{]{х} было бы свободным подмножеством множества S. что противоречит предположению.
Теорема 1. Каждое векторное пространство обладает базисом.
214
ЛЙНЕШІАН АЛГЕБРА
Г'Л. JI1 § -і
Эта теорема содержится в следующей более точной:
Теорема 2. Для каждой системы S образующих векторного пространства E и каждого его свободного подмножества L, содержащегося в S, существует базис В пространства E такой, что
lczbczs.
Действительно, множество % всех свободных подмножеств множества S, упорядоченное по включению, в силу предложения 3 § 1 есть множество конечного характера (Теор. мн., Рез., § 6, п° 11) и потому индуктивно (Теор. мн., Рез., § 6, п° 9); следовательно, то же верно и для множества © всех свободных подмножеств множества S, содержащих L. В силу теоремы Цорна ® обладает максимальным элементом В, и В есть базис пространства E в силу предложения 4.
Замечание. В случае, когда ? конечно, доказательство теоремы 2 опирается лишь на то, что каждое множество подмножеств конечного множества обладает максимальным элементом, а этот резуль. тат не зависит от аксиомы выбора (Теор. мн., гл. III).
Пример. Каждое кольцо, содержащее тело К и имеющее единицу тела К своей единицей, есть векторное пространство над К и, значит, обладает базисом относительно К (см. § 7); в частности, вснкое надтело тела К обладает базисом относительно К. °Поэтому я поле R вещественных чисел обладает (бесконечным) базисом относительно поля Q рациональных чисел; всякий базис ІЇ относительно Q называется базисом Хамеля.а
Следствие 1. Каждое левое векторное пространство над телом К изоморфно векторному пространству вида K^P.
Следствие 2 («теорема о замене»). Для каждой системы S образующих векторного пространства E и каждого его свободного подмножества L существует множество S'CZS такое, что LIJS' есть базис пространства E и L[\S' = 0.
Достаточно применить теорему 2 к свободному множеству L и системе образующих L(JS.
Заметим, что это следствие равносильно теореме 2, ибо примене аие теоремы о замене к свободной системе L, содержащейся в S, в свою очередь приводит к утверждению теоремы 2.
^ СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 215
2. Конечномерные векторные пространства
Теорема 3. Если векторное пространство E над телом К обладает конечным базисом, состоящим из п элементов, то и каждый другой базис пространства E состоит из п элементов.
Достаточно доказать, что если В — базис пространства E, состоящий из п элементов, то всякий другой базис В' этого пространства содержит не более п элементов. Применим индукцию цо п; при п=О справедливость утверждения очевидна. Пусть а?В’\ существует множество С Cl В такое, что {а}[}С есть базис пространства E и a ^ С (теорема о замене); так как В — базис пространства Е, то СфВ, так что С содержит не более п—1 элементов. Пусть V — порожденное им подпространство и V' — подпространство, порожденное множеством В' Г) С {а}; будучи оба дополнительными к подпространству Ка, Fh V' изоморфны (§ 1, следствие предложения 1). Так как V обладает базисом с числом элементов, не превосходящим п—I, ТО І?'ПС{а} содержит не более п—1 элементов и, значит, В' — не более п элементов.
Этой теореме можно дать другое доказательство, основывающееся на том, что каждое моногенное векторное пространство над телом К есть простой. К-модуль (гл. I, § 6, определение 14), поскольку оно порождается любым своим элементом Ф 0. Векторное пространство E над К, обладающее конечным базисом, является тем самым полу простым К-модулем*); поэтому то, что два конечных базиса пространства E имеют одинаковое число элементов, непосредственно вытекает из теоремы Жордана — Гёльдера (гл. I, § 6, теорема 8), а ее следствие показывает, что E не может иметь бесконечного базиса.
Можно было бы также установить связь теорем 1 и 2 этого параграфа с более общими предложениями, относящимися к произвольным группам с операторами (коммутативным или нет; см. гл. I, § 6, упражнение 18).
Определение 1. Говорят, что векторное пространство E над телом К конечномерно, или имеет конечный ранг (или также имеет конечную размерность) относительно К, если оно обладает конечным базисом. Число элементов любого его базиса называется тогда размерностью или рангом пространства E (или также числом измерений Е) относительно К и обозначается \Е : К] или dim/v E.
