Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
.‘І. Линейные отображения в прямую сумму
Пусть E ті. F — >1-модули и F является прямой суммой конечного семейства своих подмодулей; для каждого у ^F обо-
значим через kj {у) компоненту у в Nj (1< /< п). Пусть и — линейное отображение E в F', для каждого х?Е имеем и(х) =
Tl Tl
= 2 kj (и (^)), т. е. и = 2 kjOU\ иными словами, линейное отображе-у= 1 3=1
ние и вполне определяется знанием линейных отображений Ui = kj°u модуля E в модули Nj (1 </<«). Обратно, если Uj для каждого
П
/ — произвольное линейное отображение E в Nj, то u=2uj
7=1
есть линейное отображение EnF такое, что uj = kjou. В итоге, если рассматривать линейные отображения E в Nj (1 </<») как линейные отображения йв/’и тем самым модуль X (E,Nj) — как подмодуль модуля X (Е, F), то получаем:
Предложение 2. Если F — прямая сумма конечного семейства (Nj) своих подмодулей, то модуль X(E,F) есть прямая сумма своих подмодулей X(EjNj).
*) Эти результаты сохраняют силу также, когда EnF — произвольные группы с операторами (коммутативные или нет), и — представление E на F ж M — устойчивая нормальная подгруппа группы E (откуда следует, что и (M) есть устойчивая нормальная подгруппа группы и (E) = F).
206 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 2
4. Линейные отображения прямой суммы
Пусть теперь E—.4-модуль, являющийся прямой суммой произвольного семейства (Mx) своих подмодулей, и F — произвольный 4-модуль, Для каждого х?Е обозначим через hi (х)
компоненту X в М\, так что х~ 2 hx(x). Если и — линейное ото-
X
бражение E в F, то и (х)=^и(У\ hx (х))=^ 2 и (hi (а;))=2 uX №х (х))-
Л X А.
где их — сужение и на подмодуль Mx- Тем самым значение и для каждого х? E определяется знанием сужении и на подмодули Mx-Обратио, пусть для каждого % задано линейное отображение их модуля Mx в F; если для каждого х?Е положить и(х)
= ^\ux(hx(x)) (выражение, имеющее смысл, поскольку hx (х) <1
х
и, значит, их (hx (х))=0 для всех кроме конечного числа индексов л), то ясно, что и будет линейным отображением EbF, сужение которого на каждое Mx совпадает с их- В итоге:
Предложение 3. Пусть EuF — А-модули, причем E есть прямая сумма семейства (Mx) своих подмодулей. Каково бы ни было семейство (их) линейных отображений их модулей Mx в F. существует, и притом только одно, линейное отображение н модуля EeF, сужение которого на Mx равно их для каждого X.
Следствие 1. Модуль X (Е, F) изоморфен произведению II Х(Мх, F) модулей Х(Мх, F).
X
Следствие 2. Если E обладает базисом (ах), то для каждого семейства (Ъх) элементов из F существует однозначно определенное линейное отображение и модуля EeF такое, что и (ах) 1>х для каждого X.
Это отображение определяется формулой и (2 ^,х^х) = 2 Ъ.^x-
X X
Следовательно, для того чтобы и было изоморфизмом EeF, необходимо и достаточно, чтобы (Ъх) было свободным семейством; для того чтобы и было изоморфизмом E на F, необходимо и достаточно, чтобы (Ъх) было базисом модуля F.
Замечание. Пусть T — произвольное множество, отождествленное с каноническим базисом модуля формальных линей
4
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ных комбинаций (с коэффициентами из А) элементов множества T (§ 1, п° 8). Следствие 2 предложения 3 показывает, что любое отображение / множества T в Л-модуль F может быть, и притом единственным образом, продолжено до линейного отображения / модуля Л [1
в F, а именно по формуле 7 (2 Sf t )=2 &/(*)¦
і t
Предположим теперь, что E есть прямая сумма конечного семейства (Л/^ігсі^т своих подмодулей. В тех же обозначениях,
ПЪ
что и выше, изоморфизм [] X (.Mi, F) на X (E, F), определенный
г=1
m
при доказательстве предложения 3, запишется в виде (Ui)-> 2 UiOhi,
г— 1
когда Ui пробегает X(MilF), UiOhi пробегает подмодуль Р\ модуля X (E,F), образованный теми линейными отображениями E в F, которые аннулируются на подмодуле Pi= 2 Mk, дополнитель-
кфг
ном к Mi. Тем самым имеем:
Предложение 4. Пусть E — модуль, являющийся прямой суммой конечного семейства (Mi) ^i^m своих подмодулей; далее. Pi для каждого индекса і — подмодуль 2 Mh, дополнительный
кфг
к Mi, и Pi — подмодуль модуля X (Е, F), образованный теми линейными отображениями EeF1 которые аннулируются на Pi. Тогда Р{ изоморфен X (Mi, F) и X (E1 F) есть прямая сумма подмодулей P'i
Замечание. Изоморфизм Ui-+ щ о Iii модуля SS (Mil F) на Pi есть композиция изоморфизма Jf (Mi, F) на Jf (EIPi, F). порождаемого каноническим изоморфизмом M4 на EIPi (§ 1, предложение 1), и канонического изоморфизма j? (EIPi, F) на Pi1 определенного в предложении I. Jf (MilF) и Pi часто отождествляются посредством изомор физма Ui -+ Ui о Hi и изоморфизма, обратного ему, которые мы называем каноническими.
Следствие. Подмодуль М\ модуля X (E1F)1 образованный теми линейными отображениями EeF1 которые аннулируются на M1.
равен 2 Ph-кфі
208
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 2
Действительно, поскольку все hk с индексами к Ф і аннули-
т
руются на Mi, то для того, чтобы и= 2 Ub°hh аннулировалось
Й=1
на Mi, необходимо и достаточно, чтобы UiOhi=O.
