Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Иными словами, отображение и модуля EbF линейное если и(х+у) = и(х) + и(у), каковы бы ни были х?Е, у ?Е, и и (Xx) = = Ku (ж) при любых X 6 E и X ? А.
I
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Замечание. Если EaF — коммутативные группы, рассматриваемые как модули над кольцом Z (§ I, n° 1), то каждое представление и группы (беи операторов) E в группу (без операторов) F есть также лішеі'шое отображение EbF, поскольку соотношение м (пх)=пи(х) СВОДИТСЯ К U (х -у- у) = и (х) -f и (у) индукцией по п.
Примеры. 1) Проекция ргг произведения [Jjtl семейства
модулей па частичное произведение j T Ex есть линейное отображе-
LC j
ние. Точно так же, если модуль E есть прямая сумма семейства (AZ1) своих подмодулей, а Ar, (х) — компонента х ? E в M1 (§ 1, п° 7), то к — линейное отображение (§ 1, предложение 7).
2) Пусть а — элемент Л-модуля E; отображение X Xa А- модуля .4, в E линейно; обозначим его 0О; если E — унитарный модуль, то Оа(е) = а (где є — единица кольца А).
°3) Пусть / — открытый интервал числовой прямой R, E — векторное пространство всех дифференцируемых числовых функций на / и F — векторное пространство всех числовых функций на I. Отображение х -> х', относящее каждой дифференцируемой функции х ее производную, есть линейное отображение E в F.a
Все свойства представлений произвольных групп с операторами (гл. I, § 6, п°п° 12 и 13) сохраняют силу и для линейных отображений; напомним их вкратце.
Для того чтобы отображение модуля E в модуль F было изоморфизмом EbF, необходимо и достаточно, чтобы оно было
взаимно однозначным линейным отображением EbF, или чтобы -1
и (0) сводилось к 0.
Пусть и — линейное отображение EaF, тогда и (E) есть нод--1
модуль модуля F; H = и (0) есть подмодуль модуля Е, и и (E) изоморфно фактормодулю Е/Н\ и есть композиция канонического гомоморфизма E на EjH, изоморфизма EjH на и (E) и канонического изоморфизма и (E) в F. Если M — подмодуль модуля E, то и (M) — подмодуль модуля F, изоморфный фактормодулям Mi(M[]H) и (М-\-Н)/Н\ в частности, если сумма MjrH прямая
(т. е. если М[^Н={Щ), то сужение и на M есть изоморфизм M на
-і
и (M). Если M' — подмодуль модуля F1 то и (M') — подмодуль
-і
модуля Е, содержащий H, а фактормодуль и (M')jH изоморфен M'^u (E).
204
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § г
Если S — система образующих подмодуля M модуля Е, то и (S) есть система образующих для и (M). В частности, если и (а:) = 0 для всех X^S, то и(х)=0 также для всех х?М.
Ссылаясь на этот результат, мы будем называть его иногда «принципом продолжения линейных тождеств» или «принципом продолжении по линейности».
Наконец, если Е, F, G — ,4-модули, и — линейное отображение E в F и V — линейное отображение F в G, то композиция Vo и есть линейное отображение EbG.
Множество всех линейных отображений модуля E в модуль / будет обозначаться X (E, F). Ясно, что если и и и— такие отображения, то также —и и u-\-v являются линейными отображениями EbF; тем самым X (Е, F) есть аддитивная подгруппа модуля Fe (множества всех отображений E в F); напротив, если некоммутативно, то w=au, где а? А, не будет, вообще говоря, линейным отображением E в F; действительно, w (Хх)=аи (Xx) -= (аХ) и(х), a Xw (х)=(Xa) и (х), и потому w (Xx)=Xw (х) для всех х?Е и всех Х?А, вообще говоря, лишь если а принадлежит центру С кольца Л. Иначе говоря, вообще X (Е, F) можно наделить структурой модуля относительно С (но не относительно 4).
2. Линейные отображения фаитормодуля
Пусть E — Л-модуль, H — его подмодуль и ф — канонический гомоморфизм E на фактормодуль Е/Н. Если / — линейное отображение Е/Н в Л-модуль F, то /о<р есть линейное отображение EbF1 аннулирующееся для всех х?Н; обратно, если g — линейное отображение EbF, аннулирующееся для всех х?Н, то X== у (mod//) влечет g (х—у)=0, т. е. g(x) = g(y); тем самым g согласуется с отношениемх = у (mod if) (Теор. мн., Рез., § 5, п° 7) и, следовательно, имеет вид /°ф, где / — отображение Е/Н в F, линейность которого легко проверяется. Другими словами:
ПредложЕНИЕ 1. Пусть EuF — A-модули, H — подмодуль модуля Eu ф — канонический гомоморфизм E на Е/Н. Отображение, относящее каждому линейному отображению f фактор-модуля Е/Н в F линейное отображение /°ф модуля EeF, есть
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
205
изоморфизм модуля X (Е/Н, F) (относительно центра С кольца А)
на подмодуль модуля X(E,F), образованный теми линейными отображениями EeF, которые аннулируются на Н.
Этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, будут назы-наться каноническими.
Замечание. Предыдущее рассуждение может быть обобщено следующим образом: если и — линейное отображение E в F, M — произвольный подмодуль в ? и функция и согласуется (Теор. мн., Рез., § 5, п0 8) с отношениями эквивалентности х = у (mod М) в E
и х' = y' (mod и (M)) в F, то отображение и фактормодуля Е/М в F/и (Л?), получающееся путем ее факторизации, линейно и отображает
Е/М на и (Е)/и (М)\ при этом и о ср=^ о и, где ф—канонический гомоморфизм E на Е/М, a if — канонический гомоморфизм F на Flu (M) *).
