Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 79

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 201 >> Следующая


по <го подмодулю N, образованному теми элементами (?0),

для которых 2 SA = 0. і

Действительно, отнесение каждому элементу (|t) из А(Р элемента 2 IlaL из Е, в силу формул (1) и (2) и предложения 2, і

определяет представление и модуля Л ^ на М. Так как, по своему -і

определению, N=U (0), то справедливость предложения вытекает из теоремы 5 § 6 главы I.

Допуская вольность речи, подмодуль N модуля A^P часто называют модулем линейных соотношений между элементами семейства (at).

9. Аниуляторы. Точные модули. Строение моноген-пых модулей

Определение 11. Аннулятором подмножества F A-модуля E называется множество тех элементов а?А, для которых ах = 0, каково бы ни было х ? F.

Очевидно, аннулятор любого множества FdE есть левый идеал кольца А. Если FdE, GdE и FdG, то аннулятор G

содержится в аннуляторе F. Аннулятор объединения [J F1 любо-
.9

МОДУЛИ

197

L'o семейства (F1) подмножеств модуля E есть пересечение аннулято-ров этих подмножеств. В частности, аннулятор множества F есть пересечение аннуляторов его элементов. Сказать, что элемент модуля E свободный, — все равно что сказать, что его аннулятор нулевой, т. е. сводится к элементу 0 (гл. I, § 8, п° 5).

В частности, так как каждый ненулевой элемент векторного пространства свободный (п° 6), то аннулятор любого множества элементов векторного пространства, из которых хоть один =?0, нулевой.

Аннулятор подмодуля M модуля E есть двусторонний идеал кольца А: действительно, если ах=0 для каждого х?М, то также a (Px)==O для каждого х?М и каждого так что оф принад-

лежит аннулятору подмодуля M для каждого (3 g А. В частности, аннулятор Q модуля E есть двусторонний идеал кольца А.

Обозначим через иа для каждого а ? А гомотетию х—ххх. порожденную оператором а; рассмотрим отображение а —>иа кольца А в кольцо % всех эндоморфизмов коммутативной групп и (без операторов) Е; аксиомы (Mn) и (Мщ) показывают, что это отображение есть представление кольца А в кольцо g; прообраз нулевого эндоморфизма относительно этого отображения есть как раз аннулятор Q модуля Е\ поэтому образ А при отображении а—>иа изоморфен факторкольцу Л/а.

Мы называем модуль E точным, если его аннулятор а нулевой.

Пусть E — не точный модуль и а — произвольный элемент факторкольца А/а\ для каждого х ^E элемент аж будет одним и тем же для

всех а, принадлежащих классу a (mod а); обозначим его ах; легко

видеть, что отображение (а, х) ->• ах определяет в E (вместе со сложением) структуру точного модуля относительно факторкольца А/а\ множество Е, наделенное этой структурой, называется точным модулем, ассоциированным с заданным Л-мод улем E. Заметим, что каждый подмодуль Л-модуля E есть также подмодуль ассоциированного с E точного модуля, и обратно.

Предложение 11. Пусть А — кольцо с единицей. Каждый унитарный моногенный А-модулъ изоморфен фактормодулю AJa, где а — некоторый левый идеал кольца А; обратно, каждый фактормодуль модуля .4S есть унитарный моногенный А-модулъ.
198

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II, § I

Первое утверждение есть следствие предложения 10, примененного к случаю, когда / сводится к одному элементу: унитарный Л-модуль Е, порожденный элементом а, изоморфен /IsAi, где а—аннулятор а. Обратное очевидно, ибо если а — левый идеал кольца А с единицей е, то модуль AJa порождается классомі є (mod а).

Поэтому, в силу теоремы 6 § 6 главы I, каждый подмодуль унитарного моногенного Л-модуля E изоморфен фактормодулю Ь/а, где а и Б — левые идеалы кольца А такие, что ас Б; каждый фактормодуль модуля E изоморфен фактормодулю Ajb и, значит, сам является моногенным.

He следует думать, что подмодуль моногенного модуля всегда является моногенным модулем; например, неглавные идеалы коммутативного кольца А с единицей являются немоногонными подмодулями моногенного А -модуля А.

Упражнения. 1) Пусть А — произвольное кольцо и А' — кольцо, полученное путем црисоединения к А единицы по методу упражнения 3 § 8 главы I. Показать, что структуру любого /1-модуля E можно рассматривать как получающуюся путем сужения до А области операторов структуры унитарного /!'-модуля. E, наделенное как той. так и другой структурами, имеет одинаковые подмодули.

2) Пусть Е — -4-модуль и (і — центральный элемент кольца А такой, что JJ л: --цАт для каждого х?Е (что, в частности, имеет место, если и — идемпотент (гл. I, § 1, п° 4) кольца А); показать, что E есть прямая сумма своего подмодуля \lE и подмодуля M, образованного теми у?Е, для которых [1?/=0. В частности, если А обладает единицей є, E есть црямая сумма унитарного подмодуля гЕ и подмодуля M такого, что aAf = jO} для каждого а(А.

3) Моногеиный подмодуль, порожденный элементом а произвольного /1-модуля Е, совпадает с множеством всех элементов вида палГХа, где n?Z и XgА.

4) Пусть Mn N — подмножества /1-модуля Е, т и п — их аннуляторы; показать, что аннулятор пересечения M П N содержит rn-f-n, и привести пример, где он отличен от m-j-rt.

5) Аннулятор подмножества F произведения |j E1 модулей E1

I

есть пересечение аннуляторов проекции этого подмножества.
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed