Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Например, пусть А—кольцо целостности с единицей па, Ь — его ненулевые элементы; в А, рассматриваемом как ./!-модуль, а и Ь образуют зависимую систему, ибо (—b) a -\ ab= 0. Ho, вообще говоря, не существует элемента * ?А, для которого бы Ъ=ха или а = хЬ.
Если /? —подкольцо кольца А, то семейство, свободное в .-!-модуле Е, будет свободным также в структуре 5-модуля,
6
МОДУЛИ
191
полученной путем суженая кольца операторов до В; обратное жо, вообще говоря, неверно (см. § 5). Во избежание недоразумений, семейство, свободное в структуре А-модуля (соответственно S-модуля), называется свободным относительно А (соответственно относительно В).
Определение 8. Базисом унитарного модуля E называется всякое свободное семейство элементов из Е, порождающее Е. Унитарный модуль Е, обладающий базисом, называется свободным.
Допуская вольность речи, множество всех элементов базиса унитарного модуля E мы также называем базисом этого модуля.
Каждое свободное семейство элементов унитарного модуля E есть базис порожденного этим семейством подмодуля; в частности, пустое семейство элементов из E есть базис подмодуля {0}.
> Замечания. 1) Унитарный модуль не обязательно обладает
базисом. Например, мы видели выше, что в кольце целостности А с единицей, рассматриваемом как /!-модуль, не существует свободных множеств, содержащих более одного элемента; поэтому неглавный ндеал в А не может иметь базиса; а ниже нам встретятся кольца целостности, обладающие неглавными идеалами.
2) Свободный модуль может содержать элементы =р 0, ие являющиеся свободными. Например, если А—кольцо с единицей, то Л-модуль As свободный, но (правые) делители нуля кольца А не являются в As свободными элементами.
Пусть (ax)xgL — базис унитарного А -модуля Е. Согласно предложению 2, каждое х ?Е есть линейная комбинация элементов ax'. при :)том однозначно определены, ибо
X?L
соотношение 2 ІХаХ = 21х«? может быть переписано в виде X, Л
2 (Ix — Ix) «х = 0. откуда Ii = Ii для каждого X, поскольку X
(«х,) - свободное семейство: называют компонентой (или,
допуская вольность речи, координатой) с индексом X (или X-U компонентой) элемента х относительно базиса (?).
В частности, если E—моногенный унитарный Л-модуль и а — элемент, образующий его базис, то каждое х ? E единственным образом записывается в виде х = %a; g называют иногда отношением
192 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § I
вектора х к вектору а; если принтом кольцо Л коммутативно, то иногда
отношение х = ^а, допуская вольность, записывают в виде ? = —.
. а
Предложение 4. Пусть фактормодуль EIM1 унитарного
модуля E по его подмодулю M1 обладает базисом (Ul)lCi- Каковы бы
ни были элементы at классов at (mod M1), семейство (at)iej является свободным и порождает подмодуль M2, дополнительный к M1.
Действительно, ПО предположению, отношение 2 ^laI = О
I
влечет Xt = O для всех і; так как оно равносильно отношению 2 6 M1, то мы видим, с одной стороны, что (at) есть свобод-
I
ное семейство и, с другой стороны, что порожденный им под-модуль M2 обладает свойством Му,[}М2 = {Щ. Наконец, так как
каждый элемент из EIM1 есть линейная комбинация классов щ,. то каждое х ? E сравнимо (mod M1) с некоторой линейной комбинацией элементов at, а это показывает, что E = Mi +M3.
Следствие. Если фактормодуль ElM1 свободный, то M1 обладает в E дополнением.
7. Сумма и прямая сумма любого семейства подмодулей
Предложение 5. Подмодуль, порожденный объединением семейства (M1)1^i подмодулей модуля Е, совпадает с множеством
сумм Jxt, где (a:t)ty пробегает множество всех тех семейств і ?1
элементов из E, в которых xt = 0 для всех кроме конечного числа индексов і и Zt^Mt для каждого 16 /.
Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий
объединение U M1, содержит и все эти суммы, а, с другой сто-
роны, из формул (1) и (2) следует, что множество, образованное этими суммами, есть подмодуль' модуля Е.
Если I конечно, то подмодуль, порожденный объединением подмодулей M1, есть пе что иное, как их сумма ^M1 (гл. I,
I ?1
§ 1). Распространяя это, вводим следующее определение:
і
МОДУЛИ
193
Определение 9. Суммой 2 M1 произвольного семейства (Mt)te;
і е/
подмодулей модуля E называется подмодуль, порожденный объединением этого семейства.
Замечание. Предложение 5 может рассматриваться как обобщение предложения 2: действительно, это последнее сразу вытекает из предложения 5 и того факта, что подмодуль унитарного A-модуля, порожденный элементом а, есть множество Aa всех Ха, где К пробегает А.
Определение 10. Сумма семейства (Ml)l^i подмодулей модуля E называется прямой, если каждый элемент этой суммы единственным образом записывается в виде 2 xi (гДе xi € для каждого і
I ?/
и Z1 = O для всех кроме конечного числа индексов).
Определение 10 обобщает определение прямой суммы, уже данное вл°6 § 6 главы I для случая конечного I. Оно означает,
что отношение 2 *1 = 2^1» где xI^Ml и Уі?ML для каждого і, і ?1 і Є/
влечет Zt=Iyl для всех і или также (в силу (1) и того, что Mt-подмодули) что отношение 2zi = 0, где Z16 Mk для каждого і,
