Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*18) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу.
а) Показать, что если А допускает тело левых отношений А (гл. I, § 9, упражнение 8), E — векторное пространство над К и М— Л-модуль, содержащийся в Е, то каждое множество в М, свободное относительно А, будет также свободным относительно К.
б) Для того чтобы в /1-модуле А™ не содержалось свободного множества, имеющего более п элементов, необходимо и достаточно»
МОДУЛИ
201
чтобы А допускало тело левых отношений. [При доказательство необходимости условия воспользоваться упражнением 9 § 9 гл. I; при доказательстве достаточности использовать а), заметив, что A™ CZ К™, и применить упражнение 17 к ЛГ?.]
19) Унитарный Л-модуль Е, обладающий рядом Жордана—Гёльдера длины п (гл. 1,§6,п° 14), имеет систему образующих, состоящую из п элементов. [Заметить, что если M и N — подмодули модуля ? такие, что M ZD N и M/N — простой модуль, то существует а ? M такое, что M= N Aa.]
*20) Пусть M — простой модуль (гл. I, § 6, определение 14) относительно кольца А. Показать, что либо аМ = {0} для каждого а ?Л и M состоит из конечного числа р элементов, где р — простое, либо M=Aa для каждого а Ф 0. принадлежащего M. [Заметить, что Ax CT M для каждого х?М, и рассмотреть подмодуль модуля М, образованный теми х ? M, для которых Ax= {0}.] Во втором случае аннулятор а элемента а есть максимальный левый идеал кольца А и M изоморфно AsIa. Обратно, если а — максимальный левый идеал кольца А, то .4-модуль As/a — простой.
21) Пусть M ж N — два полупростых подмодуля *) модуля Е, имеющие соответственно длины то и д. Если пересечение M Г\ N имеет длину q, то сумма M- '• N есть полупростой модуль ДЛИНЫ /і такой, что р-\- q = m-\rn.
22) Пусть E — вполне приводимый модуль (гл. I, § 6, упражнение 18). a M и N — его подмодули с полупростыми фактормодулями Е/М и Е/N, имеющими соответственно длины те и д. Показать, что Е/(М П •№) и EI(MjrN) — полупростые, а их длины q и р связаны с те и и соотношением p-r q = mJrn.
*23) Вполне приводимый модуль (гл. I, § 6, упражнение 18) называется однородным, если он является прямой суммой своих простых подмодулей, изоморфных одному и тому же модулю. Пусть E — вполне приводимый модуль, являющийся прямой суммой семейства (Ml)icj своих простых подмодулей; тогда каждый его простой подмодуль изоморфен одному из M1 (гл. I, §6, упражнение 186); сумма Gy^ecex простых подмодулей модуля Е, изоморфных Mv называется для каждого і ? / i-й однородной компонентой модуля Е. Показать, что E есть прямая сумма семейства всех своих различных однородных компонент, a G1-сумма всех Mn, изоморфных M1.
*24) а) Пусть H — однородный вполне приводимый Л-модуль (упражнение 23), являющийся прямой суммой семейства (M1)^1
*) Модуль M называется простым, если он не сводится к {0} и не обладает подмодулями, отличными от M и {0}. Модуль M называется здесь полу-простым модулем длины п, если он является прямой суммой некоторого конечного семейства (Mi)I ^ і своих простых подмодулей (общее определение полупростого модуля CM. в гл. VIII, §J5).— Перее.
202
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, S -
своих попарно изоморфных простых подмодулей. Если E есть также прямая сумма второго семейства своих простых подмодулей, то
все они изоморфны подмодулям AZ1, а К равномощно I. [Ограничиться случаем бесконечного /; согласно упражнению 20, рассмотреть два случая соответственно тому, будет ли AE = {0} или нет; в первом случае рассматривать E как вполне приводимый Z-модуль; затем применить в обоих случаях упражнение 13.)
б) Пусть E — произвольный вполне приводимый Л-модуль. Если E — прямая сумма каждого из двух семейств (M1)1P1 и (Nу) своих простых подмодулей, то существует такое взаимно однозначное отображение ф множества I на К, что Nф(^ изоморфно Afl для каждого і. [С помощью упражнения 23 свести к а).)
25) Пусть EkF — изоморфные полупростые модули, V — подмодуль модуля EmW — подмодуль модуля F; если VaW изоморфны, то также EtV и FjW изоморфны. Показать на примере, что соответствующий результат для вполне приводимых модулей бесконечной длины неверен.
*26) Пусть E — Л-модуль, каждый подмодуль которого обладает дополнением.
а) Показать, что и все подмодули F модуля E обладают этим свойством, т. е. каждый подмодуль в F обладает дополнением относительно F.
б) Показать, что каждый подмодуль модуля E обладает простым подмодулем. [Используя упражнение 1, свести к случаю унитарного Л-модуля Е; затем, используя а), упражнение 20 и теорему Круля (гл. I, § 8, теорема 2), доказать, что каждый моногенный подмодуль модуля E содержит простой подмодуль.]
в) Показать, что E есть сумма своих простых подмодулей и, следовательно (гл. I, § 6, упражнение 18), вполне приводимо. [Рассмотреть подмодуль модуля Е, являющийся суммой всех простых подмодулей этого модуля.]
§ 2. Линейные отображения
/. Линейные функции
Определение 1. Пусть EuF — модули относительно одного и того же кольца А. Линейнъш отображением EeF называется всякое представление (гл. I, § 4, n° 4) E в F.
