Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
6) Аннулятор любого ненулевого элемента свободного унитарного /4-модуля содержит лишь 0 и левые делители нуля кольца А; в частности, все элементы свободного /1-модуля, где А — кольцо оез делителей пуля, свободные.
МОДУЛИ
7) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу. Показать, что модуль А? при л>1 не может быть моногенным. [Cm. 5 3, упражнение 8, и гл. III, § 5.]
8) Пусть А — факторкольцо Z/(6), (с,, е2) — канонический базис А -модуля А 2 и в=2в]-|-Зе2; показать, что хотя е, и е2 образуют свободную систему, a Rel, равно как а и е2, образуют зависимые системы.
9) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу, ио не допускающее тела левых отношений (см. гл. I, § 9, упражнение 8). Показать, что для всякого свободного элемента а унитарного .4-м одул я E существуют элементы Ь--~ра и с--у а моногенного подмодуля, порожденного элементом а, образующие свободную систему.
10) Пусть А — кольцо с единицей, допускающее тело левых отношений (гл. I, § 9, упражнение 8), и E — унитарный А -модул ь: показать, что если (ж,<i<r — свободная система в E и элементы у, z таковы, что как X1, ..., хг, у, так и X1, ..., xr, z — зависимые системы, то также х2, ..., хг, у, z — зависимая система. [Индукцией по г.]
11) Пусть А — кольцо с единицей, допускающее кольцо левых отношений. Показать, что в Л-модуле Ai подмодуль, отличный от А. и {0}, не обладает дополнением. [Cm. гл. I, § 9, упражнение 9.]
12) Пусть А — кольцо без делителей нуля, содержащее единицу. Показать, что если каждый его левый идеал является моногенным .4-модулем, то А допускает тело левых отношений. [Использовать приведенное выше упражнение 7 и упражнение 9 § 9 главы I.]
*13) Пусть E — А -модуль, являющийся прямой суммой бесконечного семейства (M1)1P1 своих подмодулей (не сводящихся к 0). Показать, что каждая система S образующих модуля E имеет мощность, не меньшую мощности множества I. [Пусть S — система образующих модуля Е, Fx для каждого х ? S —¦ конечное множество тех индексов і ^ /, для которых i-я компонента х отлична от 0, и /’ — объединение множеств Fx, где х пробегает S. Показать, что F имеет мощность, не превосходящую мощности произведения iSXN, а тем самым—мощности S, и что мощность F не может быть строго меньше мощности /.]
Вывести отсюда, что если E есть прямая сумма каждого из семейств своих моногенных подмодулей, то / и К равномощны. В частности, если E обладает бесконечным базисом В, то каждый другой базис модуля E равпомощен В.
14) Показать, что каждый унитарный Л-модуль, обладающий базисом с множеством индексов /, равномощен множеству AXI, если хотя бы одно из множеств A, I бесконечно. [Воспользоваться тем, что множество всех конечных подмножеств бесконечного множества F равномощно Zr.]
*15) а) Говорят, что Л-модуль удовлетворяет условию максимальности (соответственно минимальности), если множество всех его подмодулей удовлетворяет условию максимальности (соответственно минимальности; см. гл. I, § 6, упражнение 15). Показать, что
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II. § I
произведение EXF Л-модулей Е, F1 удовлетворяющих условию максимальности (минимальности), также удовлетворяет этому условию. [Пусть (Mh) — возрастающая (соответственно убывающая) последовательность подмодулей модуля EXF; рассматривая их проекции на Е, установить существование индекса р такого, что для всех к > р имеет место равенство Mk = Mv -f- (Mh П J' ) (соответственно Mp — Mk-\-(Mpf)F), откуда следует, что MvIMfl изоморфно (MvKF)I(Mk^F)).)
б) Вывести отсюда, что для того, чтобы Л-модуль Ап удовлетво рял условию максимальности (соответственно минимальности), необходимо и достаточно, чтобы этому условию удовлетворяло As.
*16) а) Пусть А — кольцо с единицей такое, что Л-модуль /Iv удовлетворяет условию максимальности (упражнение 15). Показать, что каждая система образующих модуля As содержит по меньшей мере п элементов. [В противном случае при некотором р<^п существовали бы представление Avs иа А? и, следовательно, эндоморфизм и модуля Af такой, что и (Л?)=Л” и и(0) =?{0}; показать, что это несовместимо с условием максимальности в А”.]
б) Пусть В — подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный элемент, что и А. Показать, что также каждая система образующих В-модуля Bs содержит по меньшей мере At элемептов. [Показать, что каждая система образующих модуля В? С А* есть также система образующих модуля А?.] Вывести отсюда, что осли унитарный В-модуль E обладает конечным базисом, то всякий другой базис модуля E состоит из такого же числа элементов.
17) Пусть А — кольцо с единицей такое, что /1-модуль As удовлетворяет условию минимальности (упражнение 15). Показать, что каждое свободное подмножество модуля As содержит не более П эле ментов. [В противном случае для некоторого р^> п существовал бы подмодуль модуля Ars!, изоморфный Al', HO отличный от пего, что несовместимо с условием минимальности в A^ (см. гл. I, § 6, упражнение 15).]
Вывести отсюда, что если унитарный Л-модуль E обладает конечным базисом, то всякий другой базис этого модуля состоит из такого же числа элементов.
