Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
IEJ
влечет Z1 = O для всех і.
Этому условию можно придать также следующий вид:
Предложение 6. Для того чтобы сумма семейства (Ml)l^i подмодулей модуля E была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение Mk с суммой тех M1, индексы і которых Фн, для каждого сводилось к 0.
Необходимость условия очевидна; достаточность его вытекает
из того, что отношение 2 zI = O может быть для каждого
ItI
записано в виде zH = 2 ( — zO и потому влечет Ztt = 0.
I фк
Если E — прямая сумма семейства (M1) своих подмодулей, то каждому х ?Е отвечает однозначно определенное семейство (X1) такое, что jt?#t для каждого і и ?=2^! элемент X1, соответ-
I
ствующий і, называется для каждого і компонентой х в подмодуле M1-, полагая X1 = Icl (х), имеем следующее предложение:
13 H. БурОаки
194
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. И. S
Предложение 7. Каковы бы ни были. х?Е, у?Е иа?А,
kl(x-'ry) = kl(x)-\-kl(y). ¦ (3)
A1 (аж) = CtAl(^r). (4)
Действительно, с одной стороны, Xjr у =^kl (ж + у), а с дру
L
гой, согласно (1), ж + У = S W (У) = S (h (ж) + A1 (г/));
I I L
из определения 10 следует тогда (3) для каждого і. Аналогично доказывается (4).
Пусть модуль E есть прямая сумма семейства (M1)1^1 своих подмодулей; если (Jx)xei.— любое разбиение множества / u N-,
означает (тоже прямую) сумму 2 то E есть прямая сумма
lEjX
подмодулей Nx- Обратно, если — семейство подмодулей
модуля E такое, что сумма Nx каждого подсемейства (Ml)l^i прямая, a E есть прямая сумма семейства (Nx)x?l, то E есть также прямая сумма семейства (Af0)te/.
Для любого семейства А -модулей можно определить
Л-модуль, являющийся прямой суммой семейства своих подмодулей, соответственно изоморфных модулям M1; достаточно
взять в произведении [| M1 модулей Afl подмодуль M', являю-
I Er
щийся суммой модулей-компонент М[ (п° 4), которая будет очевидно прямой; допуская вольность речи, мы будем (если это не сможет привести к путанице), отождествляя каждое M1 с модулем М[, отмеченным тем же индексом, называть M прямой суммой семейства (Aft)l,^; если I конечно, то M' совпадает с произведением [] M1 модулей M1. Если все M1 совпадают с одним ієї
и тем же модулем М, то их прямая сумма обозначается Mu '.
Предложение 8. Пусть (M1) — семейство подмодулей модуля E и М —прямая сумма этого семейства. Тогда сумма N подмодулей Afl изоморфна некоторому фактормодулю модуля М.
Действительно, каждый элемент из M имеет вид (ж,.), где Є AZ1 для каждого і и X1 = Q для всех кроме конечного числа
S
МОДУЛИ
195
индексов. Поставив ему в соответствие элемент V! .г, суммы N.
к силу формул (1) и (2) и предложения 5 получим представление M на N, откуда и следует справедливость утверждения (гл. І. § (і. теорема 5).
Отметим, наконец, что осли модуль E есть прямая сумма
се.мейстка своих подмодулей и каждый модуль M1 обла-
дает базисом H1, то объединение всех B1 будет базисом модуля Е.
Замечание. За исключением последнею свойства, все определения и предложения, сформулированные в этом п°, без всяких изменений распространяются на любые коммутптинные группы с операторами.
(V. Модули формальных линейных комбинаций
Понятие прямой суммы позволяет дать другое истолкование понятиям свободного семейства и базиса. Для того чтобы семейство Uh) элементов унитарного А -модуля E было свободным, необходимо и достаточно, чтобы каждый из элементов at был свободным, а сумма моногенных подмодулей Aal (порожденных соответственно элементами O1) — прямой. ,
Предложение 9. Для того чтобы унитарный A-модуль E обладал базисом {а^)хсь, необходимо и достаточно, чтобы он был изоморфен модулю А^\
Действительно, отображение, относящее каждому x? E семейство (|^)x?L его компонент относительно базиса (а%)х^ь модуля Е, в силу предложения 7 и определения базиса есть изоморфизм E на А™.
Обратно, пусть L — произвольное множество и е\ для каждого XgL- элемент из A^, компонента которого с индексом К равна единице є кольца А, а все остальные компоненты равны нулю; для каждого х =(??) из A{l) имеем х—^&Є}, так что эле-
менты е\ образуют базис модуля A^; он называется каноническим базисом этого модуля.
Следствие. Моногенный подмодуль Aa унитарного A-модуля Е, порожденный свободным элементом я ? Е, изоморфен А _.
13 і
196 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. II, § 1
Пусть T — произвольное множество; так как его отображение t —> et на канонический базис модуля взаимно однозначно, то часто T отождествляют посредством указанного отображения с этим базисом. Иными словами, элементы модуля A^ записывают в виде 21; * вместо 2 IieI- При этом соглашении элементы <?Т ‘ I?1
модуля Л<т> называют формальными линейными комбинациями (с коэффициентами из А) элементов множества T, а модуль Ae — модулем формальных линейных комбинаций (с коэффициентами шъ А) элементов множества Т.
Предложение 10. Пусть (at)te/ — любое непустое семейство
элементов унитарного A-модуля Е. Подмодуль M модуля E1
порожденный семейством (at), изоморфен фактор модулю модуля
