Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Еще более специализируя наши предположения, допустим, наконец, что, с одной стороны, E есть прямая сумма конечного семейств» (A/i)1<i<m своих подмодулей и, с другой стороны, F есть также прямая сумма конечного семейства (Nj)\<j n своих подмодулей. Предложения 2 и 3 показывают тогда, что модуль Jg (E, F) изоморфен произведению тп модулей X (Mi, Nj). Говоря точнее, каждое линейное отображение и модуля EbF определяется своими т сужениями щ на Mi, каждое же Ui определяется п отображениями /с, о Ui=Uji по фор-
Tl
муле Mi (х) = 2 Uji(X); Uji — линейное отображение Mi в Nj, и эти
J=I
тп отображений могут быть выбраны произвольно.
Пусть G — третий УІ-модуль, прямая сумма семейства (Ph)\<h<]i своих подмодулей, и V — линейное отображение F в G, a (vkj) — соответствующие ему пр линейных отображений (где vh, — отображение Nj в Pfi). Для каждого х ^ Mi имеем
Tl п п
о(«г(*))=2 v (uJt(aO)= S *2 tMttJi(aO)-
)=і J= і h=i
Полагая
n
=2 vVouH' (1*
J= I
видим, что семейство, образованное тр линейными отображениями Wlti, соответствует линейному отображению W=VOU модуля EnG (CM. § 6, п° 4).
Замечание. Все предыдущие определения и предложения (кроме определения структуры С-модуля в X (E, F), следствия 2 предложения 3 и сделанных вслед за ним замечаний) применимы без изменения к произвольным коммутативным группам с операторами.
5. Эндоморфизмы модуля
Пусть E — Л-модуль; в соответствии с общими определениями (гл. I, § 4, п° 4), эндоморфизм модуля E — это линейное отображение E в Е; таким образом, множеством всех этих эндоморфизмов служит множество, которое мы обозначили %(Е,Е) и будем в дальнейшем для краткости обозначать X (E). Очевидно, закон
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
209
композиции (и, v)—> Uo и определяет в X (E) вместе со сложением структуру кольца, единичным элементом которого служит тождественное отображение E на себя. X (E), наделенное, кроме того, внешним законом композиции ("у, и)—> у и операторов у, принадлежащих центру С кольца А, и эндоморфизмов и модуля Е, есть кольцо с операторами (гл. I, § 8, п° 2), ибо для любых двух эндоморфизмов и, V имеем (уи)о V~Uo (yv) = y (ио v).
Автоморфизмы модуля E — это не что иное, как обратимые ллементы кольца X (E)', они образуют группу, которую обозначают GL (E) и называют линейной группой модуля Е\ при Е=А™ пместо GL(E) пишут GL11 (А).
Кольцо (без операторов) Ж (E) есть подкольцо кольца % всех эндоморфизмов аддитивной группы (без операторов) Е; оно состоит из тех элементов кольца которые перестановочны со всеми гомотетиями модуля E (гл. I, § 8, следствие 2 предложения 2). Как было уже отмечено (§ I, n° 1, и гл. I, § 6, п° 12), если кольцо А некоммута-
* тивно, гомотетия модуля Е, вообще говоря, не является эндоморфиз-
мом структуры модуля в Е.
EcniiY принадлежит центру С кольца А, то гомотетия х—>ух есть эндоморфизм модуля Е. Эти гомотетии называются центральными гомотетиями модуля Е\ они образуют подкольцо кольца X (E) и перестановочны со всеми эндоморфизмами модуля Е. При этом:
Предложение 5. Если E — свободный A-модуль, имеющий оазис, содержащий не менее двух элеме?тов, то каждый эндоморфизм модуля E, перестановочный со всеми автоморфизмами этого модуля, является центральной гомотетией.
Пусть (а\) — базис модуля Euf — эндоморфизм, перестановочный со всеми автоморфизмами этого модуля. Зафиксируем какой-нибудь индекс X, и пусть / (a^)=Yxax + 2 для каждого
индекса ц Ф X обозначим через автоморфизм модуля Е, определяемый (следствие 2 предложения 3) условиями и^ (all) = ax-\-aiL, «Ли (av)=av при V Ф ц; записывая, что f (u^(ak))^=ux^(f (ау)), получаем поскольку это верно для всех ц фХ, имеем
/ (ai)—yxai для каждого индекса X. Пусть теперь г?^ для каждой пары различных индексов (X, р.) означает автоморфизм модуля E,
14 II. Бурбаки
210
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. и, §2
определяемый УСЛОВИЯМИ Vill (Oll) = Oi и vUi (Я\) = «V
для всех V, отличных от X и |л; записывая, что f (Vill (ая))~- Viil (/ (ai)), получаем так что все yi равны одному и тому же элементу
ygyl. Наконец, пусть Wa для каждого а^Л означает автоморфизм, определяемый условиями Wa (Oi) = Oi-OLOll И Wa(Ov) = Ov для іісех уф)і (где X и fx — любые два фиксированных различных индекса); записывая, что f (wa(ai))=wa(f (ai)), получаем Cry=Ya' так что у принадлежит центру С кольца А. Тогда для каждого
X= 2 \го,і?Е имеем і
I (X) = 2 Iif (0,1) = 2 Uyai = 2 yU^i = ух, ї ї і
чем и доказано, что / — центральная гомотетия.
Следствие 1. Если E — свободный А-модулъ, то центр кольца X (E) есть кольцо всех центральных гомотетий модуля Е, которое тогда изоморфно центру С кольца А.
То, что каждый эндоморфизм, принадлежащий центру кольца X (E), является центральной гомотетией, в случае, когда E имеет базис, содержащий не менее двух элементов, вытекает из предложения 5; если E изоморфно As, то, поскольку каждый эндоморфизм и модуля имеет вид ?—> |сс, где а= и (в), два таких эндоморфизма перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их значения для | = е, так что центр кольца X (E) и в этом случае образован центральными гомотетиями. Остается показать, что если E — свободный Л-модуль, то кольцо его центральных гомотетий изоморфно С; но отображение Y-^cPa-где фя — центральная гомотетия х —> ух, есть представление С в X(E), и фу = 0, имея своим следствием у«я = 0для каждого элемента базиса (?) модуля E, влечет у = 0.
