Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Cm. сноску на стр. 201.
216
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
гл. и, § 3
В силу теоремы 3, векторное пространство над К, обладающее бесконечным базисом, не может быть изоморфно конечномерному векторному пространству; такое пространство называют бесконечномерным (или имеющим бесконечный ранг, или бесконечную размерность) относительно К.
Векторное подпространство V векторного пространства E над К, порождаемое конечным множеством M его элементов, конечномерно, ибо V обладает базисом, содержащимся в M (теорема 2). Если M — любое (конечное или бесконечное) множество элементов пространства E и порожденное им векторное пространство V конечномерно, то размерность V называется рангом M относительно К; если же V бесконечномерно, то говорят, что M — бесконечного ранга относительно К.
Допуская вольность, всюду, где это не может повлечь путаницы, дополнение «относительно К» в приведенных выше выражениях мы опускаем и вместо dimx E пишем dim?.
3 а м е ч а и и я. 1) Говоря, что векторное пространство над телом К имеет размерность > п, желают сказать, что оно имеет относительно AT лuбJ конечную размерность >- п, либо бесконечную размерность. Это равносильно утверждению, что в E существует свободная система, состоящая из п элементов.
2) В случае, когда E есть надтело тела К. термина «размерность» ц обозначения dimK E следует избегать, ибо это может повести к смешению с другим смыслом слова «размерность» (см. главу V); чтобы избежать венкой двусмысленности, лучше говорить о ранге F, относительно К.
Приведем некоторые следствия теоремы 3 и определения I
Следствие 1. Для того чтобы левое векторное пространство над К было п-мерно, необходимо и достаточно, чтобы оно было изоморфно IQ. Пространства Kf и К" при тфп не изоморфны.
Следствие 2. Каждая система образующих п-мерного векторного пространства E содержит не менее п элементов', система образующих пространства Е, состоящая из п элементов, является базисом этого пространства.
Это — непосредственное следствие теорем 2 и 3.
СТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
217
Следствие 3. Каждое свободное множество в п-мерном векторном пространстве E содержит не более п элементов', свободное множество, состоящее из п элементов, является базисом пространства Е.
Действительно, согласно теореме 2, каждое свободное подмножество пространства E содержится в некотором базисе этого пространства.
Замечания. 1) Метод, на котором основано данное выше первое доказательство теоремы 3, может, при надлежащем развитии, служить для явного определения компонент элементов базиса В относительно базиса B1, если явно заданы компоненты элементов базиса В' относительно В. Мы проведем это вычисление в аквивалентной форме при рассмотрении теории матриц (см. § 6, Ii0 10).
2) Теорема 3 справедлива не только для векторных пространств, но и для некоторых видов модулей (см. § 1, упражнения 16 и 17, и Приложение II к главе III, п° 11). Однако можно указать примеры модулей, обладающих двумя конечными базисами, состоящими из разного числа элементов (см. упражнение 8).
3) Теорема 3 выражает, что два базиса одного и того же векторного пространства, один из которых конечен, равномощны', но в действительности это свойство справедливо без всяких ограничений (см. § 1, упражнение 24).
3. Подпространства векторного пространства
Предложение 5. Каждое подпространство V векторного пространства E обладает в E дополнением.
Действительно, в силу теоремы 1, факторпространство EjY обладает базисом; а тогда утверждаемое свойство есть следствие предложения 4 § 1.
Замечание. В случае, когда EjV обладает конечной системой образующих, этот результат не зависит от аксиомы выбора (см. замечание после теоремы 2).
Предложение 6. Каждое подпространство V векторного пространства E конечной размерности п имеет размерность ¦< п\ если его размерностъ=п, то оно совпадает с Е.
Действительно, каждое свободное множество в V имеет не более п элементов (следствие 3 теоремы 3); свободное множество в V, имеющее наибольшее возможное число р элементов.
218
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 3
есть максимальное свободное множество в V и тем самым его базис (предложение 3); если р = п, то это множество является также базисом пространства E (следствие 3 теоремы 3) и, значит, V=E.
Определение 2. Говорят, что подпространство V векторного пространства E имеет в E конечную факторразмерность, если факторпространство Е/V конечномерно. Размерность Е/V называется тогда факторразмерностъю VeEu обозначается codimB V или просто codimV.
В случае, когда EjV бесконечномерно, говорят, что V имеет бесконечную факторразмерность в Е. Факторразмерность подпространства V векторного пространства E может быть определена также как размерность дополнения к F; следовательно, когда E конечномерно, имеем
codim# V = dim E — dim V. (I)
Предложение 7, Если MuN — конечномерные подпространства векторного пространства E, то Mf) N и M-\-N конечномерны и
dim (М + N) Ar dim (М f] N) = dim M -)- dim N. (2)
Предложение очевидно, когда ибо тогда M-\-N
