Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 76

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 201 >> Следующая

188

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II, § 1

тех индексов і, для которых X1 Ф 0, конечно; условимся обозначать через 2 xI и называть суммой семейства (Zl)ie/ сумму 2 Zt;

L

если Xi = O для всех ig/, то /=0 и, следовательно (гл. 1, § 2, определение 2), 2^1 = 0- Можно также сказать, что сумма і ?/ семейства (Zli)te/ есть общее значение сумм 2 xi Для всех конечен ных множеств H CZ I таких, что X1 = O при i Н\ в случае конечного I это вновь дает понятие суммы конечного семейства (определенное в главе I).

Разумеется, символ 2 xi не имеет смысла для семейства (Zl)te/, і ?1

В котором X1 Ф 0 для бесконечного множества индексов і (во всяком случае, покуда E не наделено топологической структурой; см. Общ. топ., гл. III, § 4). Всюду в этой главе, где используется указанное обозначение, подразумевается, если только не оговорено противное, что X1 = O для всех кроме конечного числа индексов і.

Очевидно, имеют место формулы

2(*і+у0 = 2*і+2уі. (!)

2 CCZ1 = O 2 Z1 (аЄ^І). (2)

ig І і є/

Определение 5. Говорят, что элемент х A-модуля E есть линейная комбинация семейства (at)te/ элементов из E с коэффициентами из А, если существует семейство (Xt)te/ элементов из А такое, что X1 = О для всех кроме конечного числа индексов і и X= 2 KaI- Каждое семейство (Xl)te/, обладающее этим свой-ie/ ством, называется семейством коэффициентов линейной комбинации х (относительно семейства (at)). Вообще говоря, существуют различные семейства коэффициентов, удовлетворяющие соотношению I=2vt (см- п° 6).

I

Заметим, что (в силу соглашения, принятого в п° 1 § 2 главы I

О есть линейная комбинация пустого семейства элементов из Е.
в

МОДУЛИ

189

Предложение 2. Подмодуль унитарного A-модуля Е, порожденный (гл. I, § 6, Ii0 10) семейством («іХе/ элементов из Е, совпадает с множеством всевозможных линейных комбинаций семейства (at).

Действительно, каждый подмодуль модуля Е, содержащий все Яц содержит также все их линейные комбинации; обратно, из формул (1) и (2) вытекает, что множество M всех линейных комбинаций элементов at есть подмодуль модуля Е\ так как при этом at = eat, где е—единица кольца А, то M содержит все а, и, следовательно, есть наименьший содержащий их подмодуль модуля Е.

Определение 6. Моногенным модулем называется модуль, порожденный одним элементом.

Предложение 2 показывает, что если Е — унитарный моно-генный Л-модуль и а—любой порождающий его элемент, то E ¦совпадает с множеством Aa всех элементов Ха, где X пробегает А.

Примеры. 1) Каждая моногенная группа, будучи коммутативной, является моногенным Z-модулем.

2) Если А—коммутативное кольцо с единицей, то моногенные подмодули ^4-модуля А—это не что кное, как главные идеалы (гл. I, § 8, п° 6) кольца А.

6. Свободные семейства. Базисы

Определение 7. Семейство (a^ig/ элементов A-модуля E

называется свободным, если отношение 2 — 0 (где X1 = 0 для

і ?1

всех кроме конечного числа индексов і) влечет X1 = O для всех і.

Семейство (at), не являющееся свободным, называется зависимым.

Любые два элемента свободного семейства (at) в унитарном .4-модуле Е, имеющие различные индексы, сами различны, действительно, из aa=ap, где а ф$, вытекало бы 2 ^iA = O, где

I

Xa= г, Xp=-е (є—единица кольца А) и X1 = O для всех остальных индексов. S CZ E называется свободным множеством (или свободной системой), если семейство, определяемое
190

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II, § 1

тождественным отображением S на себя, свободное (причем в этом случае и каждое семейство, определяемое взаимно однозначным отображением какого-нибудь множества индексов на S, свободное). Элементы свободного подмножества модуля E называют также линейно независимыми. Множество в E, не являющееся свободным, называют зависимым (или зависимой системой), а его элементы — линейно зависимыми.

Предложение 3. Для того чтобы семейство (ajэлементов модуля E было свободным, необходимо и достаточно, чтобы каждое его конечное подсемейство было свободным.

Доказательство непосредственно вытекает из определения 7 и определения суммы бесконечного семейства элементов из Е.

Каждое подмножество свободного множества свободное. В частности, пустое подмножество .4-модуля Z? — свободное; каждое подмножество свободного множества, сводящееся к одному элементу, свободное. Элемент X ?Е называется свободным, если {х} есть свободное множество, т. е. если ах = 0 влечет а = 0.

Замечания. I) В векторном пространстве E каждый элемент х Ф 0 свободный, поскольку из ах = у при а ф 0 следует Z=CT1J/.

2) Из предложения 3 вытекает, что множество всех свободных подмножеств Л-модуля Е, упорядоченное по включению, индуктивно (Теор. ми., Рез., § 6, п° 9); будучи непустым, оно, в силу теоремы Цорна, обладает максимальным элементом (at). Отсюда следует, что для каждого х ? E в кольце А существуют элемент [х ф 0 и семейство

элементов (X1) таких, что ,иж= У1 (см. § 3).

і

В силу определения 7, никакой элемент ах свободного семейства (at) в унитарном Л-модуле не является линейной комбинацией элементов at с индексами фх. Ho, обратно, семейство (аь), удовлетворяющее этому условию, не обязательно является свободным (см., однако, § 3, H0 1).
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed