Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Пусть и — линейное отображение m-мерного векторного про-
-1
странства E в л-мерное векторное пространство/’; положим Н=.и(0). Показать, что если V — р-мерное подпространство пространства E u Vf)H g-мерпо, то и (V) (р — ?)-мерно. Показать, что если W — подпространство пространства F такое, что Wp\u(E) г-мерно, то
и (VF) имеет размерность г+то — Q (и).
3) Пусть и и V — линейные отображения m-мерного векторного пространства в я-мерное векторное пространство. Показать, что
І Є (“) — 6 (tO Xe (“+»)< min (т> Q (“)+еИ)>
причем Q(it-j-f) может принимать всякое целое значение, удовлетворяющее этим неравенствам.
4) Пусть Е, F, G — конечномерные векторные пространства над телом К, и — линейное отображение E в F и v — линейное отображе-
-1
ние FbG. Показать, что размерность и (Ё)Г) v(®) равна Q (и) — Q (v о и); вывести отсюда, что если F n-мерно, то
max (0, Q (и) -J-Q (о) — п) <q(»om)< min (q (и), q (v)),
причем q (V о и) может принимать всякое целое значение, удовлетворяющее этим неравенствам.
Пусть H — четвертое конечномерное векторное пространство над К и w — линейное отображение GbH. Показать, что
Q (о О (w о v) ¦< Q (W) -f-Q (w Vo и).
5) Если и Bv — два эпд ом орфизма векторного пространства E конечной размерности такие, что и °v есть тождественное отображение
222
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 4
К иа себя, то ми V — взаимно обратные автоморфизмы пространства / (см. упражнение 8).
6) Пусть E — произвольное векторное пространство. Показать, что если и — его эндоморфизм, не являющийся правым делителем нуля в кольце J€ (E), то и (E) = E. [Cm. § 2, упражнение 5.]
7) Пусть E — произвольное векторное пространство и и, к1 —
-і -і
два его эндоморфизма, удовлетворяющие условию w (0) С и (0). Показать, что существует эндоморфизм V пространства E такой, что «=
-і
= vaw. [Разложить E в прямую сумму w (0) и некоторого другого под пространства.]
8) Пусть E — векторное пространство, имеющее бесконечный счетный базис (еп).
а) Эндоморфизм U1 пространства Е, определяемый условиями U1 (e2n-i)=0> uI (е2п )=еп Для всех п, отображает ? на себя, ноне является автоморфизмом этого пространства; существует взаимно однозначный эндоморфизм V1 пространства E такой, что U1 (E) Ф Е, a U1 о V1 есті, тождественное отображение E на себя.
б) Аналогично пусть и2 — эндоморфизм пространства Е, опре деляемый условиями M2 (e2n) = 0, M2(?2n-l) =еП ДЛЯ всех п, и А — кольцо эндоморфизмов пространства Е. Показать, что U1 и и2 образуют базис А-модуля As. Вывести отсюда, что А-модуль Af для каждого р > О изоморфен As.
*9) а) Пусть E — векторное пространство над телом К. Каждое отображение / пространства E в себя, перестановочное со всеми автоморфизмами и этого пространства (т. е. такое, что / (и (х))=и (/ (х)) для каждого х ? E и каждого автоморфизма и пространства Е). имееі вид х -+ ах, где а принадлежит К. [Записать, что / перестановочно с каждым автоморфизмом и, оставляющим инвариантным элемент х^Е, и вывести отсюда, что /(x)=q(x)x, где Q (х) ? К.]
б) Пусть /—отображение EXE в E такое, что для каждого автоморфизма и пространства E тождественно / (и (х), и (у)) = и (/ (х. у)). Показать, что для всех пар (х, у) линейно независимых элемептов из E имеет место равенство ](х, у)=ах гP?/, где а и P — постоянные скаляры, и что / (%х, \ix) = ф (к, |х) х, где <р — произвольное отображение KXK в К. [Тотже метод.] Если при этом / (и (х), и (у))=и (/ (х, у)) для каждого эндоморфизма и пространства Е, то / (х, y)=ax~\-fjy, каковы бы ни были х, у. Обобщить на отображения En в Е.
§ 4. Двойственность
1. Линейные формы. Сопряженный модуль
Определение 1. Линейной формой на левом A-модуле E называется всякое линейное отображение E в А-модулъ As (т. е. в кольцо А, рассматриваемое как левый модуль относительно А).
I
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
223
11 риме р. "Отображение x -*¦ ^ x (t)dt есть линейная форма
a
на векторном пространстве С (относительно R) всех непрерывных числовых функций на интервале [а, &].<,
Каковы бы ни были линейная форма и на E и а?А, отображение х—>и(х)а тоже есть линейная форма на Е, ибо для каж-догоЯбЛ имеем и (кх)а=(ки (х))а=Х(и(х)а); эта линейная форма обозначается иа. Непосредственно ясно, что в множестве X (E, ^s) всех линейных форм на E закон аддитивной группы и внешний закон (а, и)—>иа определяют структуру правого модуля относительно А. Наделенное этой структурой, X (Е, Л5) называется модулем, сопряженным к E (или просто сопряженным к E *)); мы будем впредь обозначать его Е*.
Предложение 1. Если А — кольцо с единицей, то модуль, сопряженный к левому модулю As, изоморфен правому модулю Ad.
Действительно, пусть є — единица кольца А и и — линейная форма па As; для каждого А, полагая а= и (є), имеем: и (|)= = и (|є)=|м (е)=|а; обратно, > |а для каждого А есть линейная форма и на As такая, что и(е)=а; поэтому отображение и—> и (г) есть изоморфизм модуля, сопряженного к As, на правый модуль Ad. Основываясь на этом изоморфизме, модуль, сопряженный к As, обычно отождествляют с Ad, отождествляя каждую линейную форму л на с и(г).
