Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
232
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. И, §4
то F есть пересечение р гиперплоскостей а\ (0); иными словами, р уравнений a'i (х) = 0 (1<г'<р) образуют систему уравнений подпространства F, левые части которых являются линейно независимыми формами.
Отметим еще, что предложение 9 § 3 равносильно следующему утверждению, обобщающему часть утверждения в) теоремы 1:
Предложение 10. Пусть V — произвольное подпространство векторного пространства Е; если V' — подпространство в E*, ортогональное к Е, то подпространство в Е, ортогональное к F', совпадает с V.
Действительно, V' есть множество тех линейных форм х', для -і
которых FCZa:' (0); принимая во внимание предложение 9, видим, что подпространство в Е, ортогональное к F', есть пересечение всех гиперплоскостей, содержащих F, и, значит, совпадает с F.
Замечание. Для подпространств пространства Е* не существует аналога предложения 10; если V' — подпространство в E*, имеющее бесконечную размерность, то подпространство в E*, ортогональное к подпространству V пространства Е, ортогональному к V может не совпадать с V’ (упражнение 9) *).
Наконец, если принять во внимание предложение 9, из третьей части теоремы 1 вытекает, что если подпространство V векторного пространства E есть пересечение конечного числа гиперплос--1
костей x’i (0), то каждая линейная форма на Е, аннулирующаяся на V, есть линейная комбинация форм х\.
7. Линейные уравнения
Пусть E и F — Л-модули. Каждое уравнение вида и(х) = уог где неизвестное х принимает значения из Е, и — линейное отображение E в F и у0 — заданный элемент из F, называется линейным уравнением; у0 называется свободным членом (или правой
*) Как мы позже узнаем, можно, наделяя E и Е* надлежащими топологиями и рассматривая в E и Е* лишь подпространства, замкнутые в этих топологиях, восстановить полную симметрию в свойствах E и Е* также в случае, когда E бесконечномерно.
7 двойственность 233
частью) этого уравнения; линейное уравнение, в котором у0 = 0, называется однородным.
Примеры. 1) Линейное уравнение и (х) = г/0, в котором и — линейная форма на E (и, следовательно, F = А), называется скалярным. Система уравнений
(X1Xj) = Til (1€Л> (7)
где (х[)1?/— заданное семейство линейных форм на Е, (Tit)tt/— заданное семейство элементов из А, имеющее то же множество индексов, а неизвестное х принимает значения ир Е, называется системой линейных (скалярных) уравнений или просто линейной системой; элементы Tit называются свободными членами системы; если все они равны нулю, система называется однородной.
Система (7) линейных уравнений равносильна одному линейному уравнению и(х) = у0, где за F принято Ats, за у0 принято (%), а и означает отображение х—>((х, х[)) модуля EbF.
Более общим образом, каждая система линейных уравнений
иі Іх) — У\, (і€Л.
где U1—линейное отображение E в модуль F1, а уь (для каждого
t ?/)—заданный элемент из F1, равносильна одному линейному
уравнению и(х)=у, где и—отображение (и) модуля E в ? = [|
і
а У~(У\)'
Пусть і?—унитарный Л-модуль, обладающий базисом (а^,)^.
Если положить х=2?лял и CCxt = (ал, x't), то система (7) примет л
вид
S ?я.аял = Лі (1ЄЛ- (8)
Л??
Обратно, отыскание семейства (Ел)лєі. скаляров такого, что Ел = 0 для всех кроме конечного числа индексов X и соотношение (8) выполняется для каждого ig/, равносильно отысканию решения
системы линейных уравнений (7) с E = A^, X=Y Елал (где (%)—
л
канонический базис прямой суммы Е) и х[, означающими
234
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, §4
соответственно линейные формы а:—» 2 Ъ&и• ?я, называются неиз-
к
вестными системы (8), а-/л — ее коэффициентами.
В случае, когда кольцо А некоммутативно, во избежание всяких недоразумений систему (8) называют системой левых скалярных линейных уравнений. Аналогично система
2 0AA = tIi.
называется системой правых скалярных линейных уравнений, относительно неизвестных Ijl (лишь конечное число которых отлично от нуля); а./л по-прежнему называются коэффициентами, г\ь — свободными членами такой системы, которая, впрочем, сводится к системе вида (8), если считать Ijl, Tjl и Opil принадлежащими кольцу A0, противоположному А.
В постоянном предположении, что (?)- базис модуля E, соотношение и (х) = у0 равносильно, в прежних обозначениях, соотношению
S = 2/о> (9)
хгь
где Ь% = и{аі). Обратно, отыскание семейства (в kotoPom
Ex = O для всех кроме конечного числа индексов X), удовлетворяющего соотношению вида (9), равносильно разрешению линейного
уравнения и(х) = у0, где неизвестная х =2 \\ах принимает зна-
к
чения из E = AgL), (ая,) — канонический базис прямой суммы Ежи — линейное отображение EbF, определяемое соотношениями и[а%)= Ьх для всех Х? L (§ 2, следствие 2 предложения 3).
°2) Решением системы линейных дифференциальных уравнений
п
у'і(х)— 2 агу (х)У] (х)=bi (*) (1<;<п) (Ю)
3=1
на открытом интервале 7=]a, Jj[ вещественной прямой R, где а^ и bi — определенные на I вещественные функции, называется конечная последовательность (2/г) i-Jicn Дифференцируемых вещественных функций на I, удовлетворяющих п соотношениям (10) для каждого х (j /. Отыскание таких решений равносильно разрешению одного линейного уравнения. Действительно, пусть F — множество всех отображений х —у (z](x)) интервала / в Rn и E — подмножество этого множества, образованное теми отображениями, в которых функции Zi (х) (1 «С г п)
