Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
13) Пусть и — линейное отображение векторного пространства E в векторное пространство F. Для того чтобы и было изоморфизмом E в F, необходимо и достаточно, чтобы tU было отображением F* на Е*. [Для установления необходимости условия показать, что для любой линейной формы х' на E и базиса (at) пространства E существует линейная форма у' на F такая, что <аи х') = (а1, 1и (у')) для каждого i.J
14) Пусть M — простой Л-модуль.
а) Если аМ- {0} для каждого а Є А и M состоит из р элементов (где р — простое; см. § 1, упражнение 20), то модуль, сопряженный к М, изоморфен правому идеалу кольца А, образованному всеми элементами p-то порядка правого аннулятора этого кольца.
I
СУШЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
243
б) Если M =Aa для некоторого а?М (§ 1, упражнение 20) и а — аннулятор элемента а, то модуль, сопряженный к M, изоморфен правому аннулятору 6 множества а в /1. Для того чтобы 6 {0;,
необходимо и достаточно, чтобы существовали левые идеалы кольца А , изоморфные .1/. R этом случае подмодуль Mu в М, ортогональный к модулю M*, сопряженному к М, сводится к {0).
*15) Распространить предложение 9 и теоремы 3 и 4 на вполне приводимые модули (§ 1, упражнения 22.и след., и гл. I, § 6, упражнение 18), никакой простой подмодуль которых не имеет сопряженного, сводящегося к {0}.
*16) Пусть К — векторное пространство конечной размерности п > 1 над полем А'; показать, что не существует изоморфизма ф этого пространства E на E*, зависящего лишь от заданной в E стуктуры векторного пространства. [Заметить, что для такого изоморфизма ф отображение (ж, у) -* (.т, (р (г/)> произведения EXE в К было бы инвариантным (гл. I, § 7, п° 4) относительно всякого автоморфизма и пространства Е, иными словами, каков бы ни был автоморфизм и, тождественно выполнялось бы равенство {.Г, ((' (у)) - (и. (х), Ф (м (j/))>.J
§ 5. Сужение тела скаляров
Пусть E — векторное пространство относительно тела К. При сужении области операторов заданного на E внешнего закона до подтела K0 тела К E становится векторным пространством относительно K0. В этом параграфе будет исследована связь между двумя определенными так структурами векторного пространства в Е.
I. JBasueы относительно подтела
Как мы знаем (§ 1, п° 2), тело К является левым векторным пространством относительно K0.
Предложение і . Если (ая)хєі. — базис E относительно К и (fVWitf — базис К относительно K0, то семейство (P^ajy)^ ц)^хм является базисом E относительно K0.
Действительно, очевидно, семейство (Рцв>.) порождает Е, рассматриваемое как векторное пространство над K0. С другой стороны, оно является свободным семейством в этом векторном пространстве; в самом деле, соотношение 2 QxuPnax=O1 где
X, |Х
ЄміЄ-^о 11 Qxu = O для всех кроме конечного числа пар (Я, (і),
16»
244
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 5
может быть записано в виде 2 (2 ~ ^ и> значит, вле-
я ц
чет 2 9ядРд=0 для всех К; а для каждого К соотношение 2
ц, д
влечет QXjl = O для всех (X.
Следствие. Если [Е : К] и [К: K0] определены, то определено также \Е : K0] и
\Е : К0]=[Е : К][К : K0]. (1)
Обратно, если [Е: K0] определено, то определены также [Е: К\ и [К : K0] и имеет место равенство (1).
Первое утверждение есть непосредственное следствие предложения 1. Обратно, если [Е : K0] определено, то каждый базис пространства E относительно K0, и в частности базис, определенный в предложении 1, конечен, а это влечет конечность множеств индексов L и M-
2. Первичные элементы векторного подпространства
Пусть (Ol)ie/ — базис векторного пространства E над телом К. Для каждого элемента х = 2 SA из E обозначим через J (х)
(конечное) множество тех индексов І Є /, для которых El Ф 0. Очевидно, X Ф 0 тогда и только тогда, когда J (х) Ф 0.
Предложение 2. Пусть V — подпространство векторного пространства E и J (х), где x?V, — минимальный элемент множества всех J (у) CZ I, соответствующих элементам уфОиз V (упорядоченного по включению). Тогда для того, чтобы элемент zg V удовлетворял условию J (z) CZ J (я)> необходимо и достаточно, чтобы он имел вид z=Qx, где q?K, и тогда либо Z=0, либо J (z)=J (х). Последнее утверждение ОЧеВИДНО. ПуСТЬ теперь X= 2 ElaU
I
Z= 2 CiaI таково, что J (z)d.J (х), и и—какой-нибудь индекс і
из J (х), так что En=TtO-HoflowHMQ = EjtEK1 и z' = z—QX. Тогда/(z') CZ CZ J (х) и и (J / (z), поэтому J (z') Ф J (х) и, следовательно, Zr =0.
В тех же предположениях и обозначениях, предложение 2 означает, что задание J (х) определяет х с точностью до скалярного множителя; в частности, этот множитель всегда можно
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
245
выбрать так, чтобы сделать одну из компонент Jjl элемента х равной 1. Это оправдывает следующее определение:
Определение 1. Пусть V —подпространство векторного пространства Е. Элемент x?V называется первичным элементом этого подпространства относительно базиса (Cil)ltJ пространства E (или, если можно не опасаться недоразумения, просто первичным элементом подпространства F), если он удовлетворяет следующим двум условиям’.
