Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем обычно обозначать матрицы прописными латинскими буквами.
«11 «12 • • ¦ «In
«21 а22 • • • а2п
Ct13 — с, Ct2X—d, а22—е, Ct23— /.
Подсемейство (а;,и)а, тнхк матрицы (а?.ц)а, множеством
индексов которого служит произведение мноясеств HdLw. KdM,
2
МАТРИЦЫ
259
называется подматрицею рассматриваемой матрицы, полученною путем вычеркивания строк с индексами XgCH и столбцов с индексами цЄСЖ; а про матрицу (ссхД*. ^glxm. обратно, говорят, что она нолучена путем окаймления подматрицы ц)енхя
строками с индексадш XgCH и столбцами с индексами \х g CK.
Множество всех матриц над множеством Е, соответствующих заданным множествам индексов L, M, совпадает с произведением Elxm. Если ф (соответственно ajj) — взаимно однозначное отображение множества L (соответственно М) на множество L' (соответственно M'), то отображение, относящее каждой матрице (аА/ц')(А.', m')?L'xm' над E матрицу (Рхц)(*„ ^lxm> где Pj41 = аФ(?0,Ш)> есть взаимно однозначное отображение множества El хМ всех матриц над Е, соответствующих множествам индексов L', M', на множество Elxm всех матриц над Е, соответствующих множествам индексов L, М.
2. Матрицы над кольцом
Наибольшую важность для математики имеют матрицы над кольцами с единицей. Множество Alxm всех матриц над кольцом А с единицей, соответствующих заданным множествам индексов L, М, можно наделить структурой аддитивной группы, являющейся произведением структур аддитивной группы сомножителей А произведения Alxm; суммой матриц X = ^lxm
и Y = (%ц)а, тьхм будет тогда матрица X+Y = (?^+%^, ц^хм-
Таким образом, сумма матриц X, Y определена, лишь если множества индексов строк и индексов столбцов у обеих матриц одни и те же.
Точно так же Alxm можно наделить структурой левого (соответственно правого) A-модуля, являющейся произведением соответствующих структур сомножителей; произведением qX (соответственно Zq) оператора gg А и матрицы X = (^mi) будет матрица (еЕлц) (соответственно (I^e))-
Если ф (соответственное Tj)) — взаимно однозначное отображение L (соответственно М) на L' (соответственно M'), то взаимно однозначное отображение множества матриц Al хМ на множество
17’
260
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 6
матриц Alxm, определяемое отображениями ср и о)? (n° 1), есть изоморфизм каждой из структур .4-модуля первого из этих множеств на структуру того же рода второго.
Поэтому можно при желании ограничиться тем случаем, когда LwM — интервалы [1, т\ и [1, п] натурального ряда. Предположим, что имеет место этот случай, и пусть є — единица кольца А. Пусть Eij для каждой пары (i,j)?LxM— матрица (ahh), в которой ahh = 0 при (h, k)=fc(i,j) и CCij- = є; при наделении множества Alxm одной из двух указанных структур модуля, тп матриц Eij образуют канонический базис этого модуля (§ 1, п° 8).
3. Матрицы и линейные отображения
Пусть А — кольцо с единицей и L, M — конечные множества индексов. Пусть, далее, E и F — унитарные правые .4-модули, допускающие соответственно базисы (ах)хеь и (&ц)дем> которые имеют своими множествами индексов LuM. Как известно (§ 2, следствие 2 предложения 3), линейное отображение и модуля EbF определяется заданием элементов ух = и (ах) 6 F, причем каждое семейство (y\)x?L элементов из F определяет линейное отображение и модуля EbF условиями и (ах) = Ух- Пусть и (ах) = 2 Ь^а^х',
нем
коэффициенты а^х вполне определяются заданием и и, обратно, определяют элементы и (ах), а вместе с ними и. Обозначим матрицу (ссця)(ц, X)?Mxl, отнесенную отображению и, через M(и; (ах), (Ьц)) (или, если можно не опасаться путаницы, просто через М(и)); мы будем называть ее матрицей отображения и относительно базисов (ах) и (by); таким образом, А-й столбец этой матрицы образован компонентами Gtli*, элемента и (ах) относительно базиса (Ьц) модуля F. Очевидно, каковы бы ни были линейные отображения ими модуля EbF,
M (и + и) = M (н) + M (v). (1)
Иными словами, отображение и—> M (и; (a>v), (Ьц)) есть изоморфизм аддитивной группы X (E, F) линейных отображений EbF на аддитивную группу матриц (над А), имеющих M множеством индексов строк и L — множеством индексов столбцов.
Если задана матрица M (и) = (??) отображения и относительно базисов (ах) и (Ьц), то каждая компонента % элемента и (х)
4
МАТРИЦЫ
261
относительно базиса (дц) выражается через компоненты |х элемента х относительно базиса (ах) формулой
Замечание. В случае кольца А без единицы формула (2) все еще относит каждому элементу ) правого модуля A J элемент (Tilx)
нейно; но в этом случае различные матрицы могут определять одно и то же линейное отображение, и, с другой стороны, могут существо-
таким способом; примером может служить при M=L тождественное отображение A^ на себя.
4. Произведение дву ж матриц
Пусть А — кольцо с единицей, L, М, N — конечные множества индексов, Е, F, G — унитарные правые А-модули, обладающие соответственно базисами (йх)хєі.> (&ц)цем, (cv)vejv-
Пусть и — линейное отображение E в F, v — линейное отображение FbG. Найдем матрицу отображения w = v°u модуля EbG относительно базисов (ах) и (cv), если известны матрицы
