Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
W=Q-1UP. (18)
9 матрицы 273
Действительно, и=я|}оиоф, где ф — тождественное отображение E на себя и i|) — тождественное отображение F на себя. Если в правой части этого соотношения взять матрицу ф относительно (а4) и (а{), матрицу и относительно (а4) и (& •) и матрицу г|э
относительно (bj) и (bj), то формула (18) будет непосредственно следовать из формулы (4).
Следствие 1. Если UuU'- матрицы эндоморфизма и модуля E соответственно относительно базисов (at) и (aj, то
U1=P-1HP. (19)
Следствие 2. Если X=(^i) и X-(Eli) — однострочные матрицы, образованные компонентами элемента х?Е относительно базисов
К) и («і)>
X = P-X. (20)
Достаточно применить предложение 8 к отображению |—>х\ модуля Ad в Е, взяв матрицы этого отображения, с одной стороны, относительно базисов {є} и (at), с другой стороны, относительно базисов {е} и (at).
Формула (20) равносильна формулам
Si = S “i,-Ij (1<і<п), (21)
;=1
называемым формулами преобразования координат', заметим, что они выражают компоненты х относительно базиса (at) через компоненты X относительно базиса (aj и элементы матрицы Р, т. е. компоненты базиса (аь) относительно базиса (а4); говорят, что при переходе к новому базису компоненты элементов модуля E преобразуются контравариантным образом.
Пусть теперь ж' = (Ю и х' = (Ii) — одностолбцовые матрицы (элементы которых принадлежат A0), образованные компонентами линейной формы х’?Е* относительно базисов (а[) и (а[), сопряженных к (аг) и (а4). Поскольку матрицей перехода от (aj) к (aj) 18 II. Бурбаки
274
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 6
служит tP_1, имеем ас' = 1Р~хх', что может быть записано также в виде
tX' = tX'P (22)
или
Ii= 2 t (23)
J=I
Говорят, что при переходе к новому базису компоненты линейных форм на E преобразуются ковариантпным образом.
10. Эквивалентные матрицы
Определение 6. Матрицы X и Xr из т строк и п столбцов над кольцом А с единицей называются эквивалентными, если существуют обратимая квадратная матрица т-го порядка P и обратимая квадратная матрица п-го порядка Q такие, что
Xr = PXQ. (24)
При этом определении предложение 8 можно выразить, сказав, что при переходе к новым базисам в унитарных Л-модулях EnF (имеющих конечные базисы) матрица линейного отображения и модуля EbF относительно новых базисов эквивалентна матрице отображения и относительно старых базисов.
Другое истолкование состоит в рассмотрении линейных отображений и и иг модуля EbF, имеющих матрицы X и Xr относительно фиксированных базисов,(Oi)i^ и (&3-)i<c;^m этих модулей; тогда соотношение (24) равносильно соотношению ц'=\|з о ц о ?, где ф и т|э — автоморфизмы EnF, имеющие относительно базисов (а;) и (bj) соответственно матрицы QnP.
Очевидно, отношение «X и X' эквивалентны» действительно есть отношение эквивалентности (Теор. мн., Рез., § 5) в множестве матриц из т строк и п столбцов над А, чем и оправдывается принятая терминология.
Примеры эквивалентных матриц. 1) Говорят, что матрицы X=(^ij) и X' = (?!.) из т строк и п столбцов «отличаются лишь порядком строк», еели существует подстановка а интервала [1, т] натурального ряда такая, что = для каждой пары индек-
сов (г, /) (говорят также, что X' получается путем выполнения над
10
МАТРИЦЫ
275
строками матрицы X подстановки а1). Матрицы XaX' тогда эквивалентны, ибо X'=PX, где P — матрица подстановки а-1 (над индексами базиса (bj) модуля F; см. п° 5).
Точно так же говорят, что X и X' отличаются лишь порядком столбцов, если существует подстановка т интервала [1, п] такая, что x(jj для каждой пары индексов (г, /). Так как тогда матрицы,
транспонированные по отношению к X и X', отличаются лишь порядком строк, то они эквивалентны и, звачит, то же верно для X и X' (более точно: X '=XQ, где Q — матрица подстановки т (над индексами базиса (aj) модуля E)).
2) Предположим теперь, что для некоторого индекса / и всех ?
имеют место равенства = iij + ГДе к —
индекс Ф / и |х — какой-нибудь элемент из А; говорят, что X' получается из X путем прибавления к j-му столбцу матрицы X k-го столбца, умноженного справа на |Л. И в этом случае X и X1 эквивалентны', действительно, при втором из рассмотренных выше истолкований имеем u' (aj)=u (ay)-j-M (ak) [i = u (ay-f-flfcjx), значит, м' = моф,гдеф—автоморфизм модуля Е, определяемый условиями <p( a;)=aJ+aft|x и <р (ai,)=ai, для всех Ьф] (это действительно автоморфизм, ибо эндоморфизм ф', определяемый условиями ф' (aj) = a.j — aj,jx и ф' (a/,) = Cjl для всех h ф j, обратен ф).
Так же убеждаемся в эквивалентности матриц XnX', когда X' получается из X путем прибавлении к і-й строке матрицы X строки с индексом h ф і, умноженной слева на какой-нибудь элемент X ? А: тогда X1=PX, где P — матрица автоморфизма о|> модуля F, определяемого условиями -ф (6^)= 6^-|-и -?(6?)=?? для всех к Ф h.
3) Наконец, X и X' эквивалентны также, если для заданного индекса / и всех і (1 -< і -< т) имеют место равенства =
где [X—обратимый элемент кольца А; действительно, тогда X1=XQ, где Q — матрица автоморфизма <р модуля Е, определяемого условиями ф (a;-) = Oj’(x и ф (а^) = а^ для всех к =/-- /. В этом случае говорят, что X' получается из X путем умножения j-го столбца матрицы X справа на fi.
