Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2
АЛГЕБРЫ
285
поэтому, в частности,
aKaIi — S 'Y^nv®'’? (7)
V
и знание элементов YJinv, фигурирующих в этих соотношениях, полностью определяет умножение в Е; говорят, что соотношения (7) образуют таблицу умножения рассматриваемого базиса (ajJ.
Это название происходит оттого, что в случае, когда множеством индексов базиса служит интервал [1, и] натурального ряда, соотношения (7) обычно записывают, располагая правые части этих соотношений В виде квадратной таблицы
«1 <02 aJ ап
aI
ai 2 4ijhak h
ап
где подразумевается, что на пересечении строки элемента и столбца элемента Oj стоит значение произведения а^а,-.
Элементы Yxnv кольца А, фигурирующие в соотношениях (7), не произвольны, ибо, каковы бы ни были индексы Я,, (І, V, должны выполняться соотношения ассоциативности
iakaii) av — aX (aiiav)\
(8)
286
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 7
согласно (7), эти соотношения равносильны соотношениям
2 YXuqYqvo = 2 Y^QoYfIVQi (9)
Q Q
которые ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ ДЛЯ любых индексов X, (-1, V, <т.
Обратно, пусть заданы унитарный Л-модуль Е, его базис (ак)%?Е и семейство (YxfIv) элементов кольца А, удовлетворяющее соотношениям (9); тогда в E можно определить умножение,
для любых я= 2 Ъ%ах, !/=2?? положив гг/= 2 ^nYW1V;
X X X, ц, V
двоякая дистрибутивность этого закона относительно заданного на E сложения непосредственно очевидна, а условия (9) влекут его ассоциативность; следовательно, вместе со сложением он определяет в E структуру кольца; наконец, ясно, что заданный на E внешний закон в соединении с этой структурой кольца определяет в E структуру алгебры относительно А. Это — часто применяемый способ определения алгебры.
Заметим, что элементы Yjtliv зависят от выбранного базиса; при изменении базиса таблица умножения, вообще говоря, меняет свой вид. В главе III мы уточним способ преобразования коэффициентов Y5tliv при переходе к новому базису, а именно покажем, что в случае, когда E имеет конечный базис, они являются компонентами один раз контравариантного и дважды ковариантного тензора (глава III, § 3).
Если E — алгебра, определенная указанным образом, то взяв, при том же базисе (а%), таблицу умножения с коэффициентами YXfiv = YfiXv, мы определим в E противоположную структуру. В частности, для коммутативности алгебры E необходимо и достаточно, чтобы Yxpiv = YhMm каковы бы ни были X, fi, v.
Другими словами, таблица умножения алгебры, противоположной E (относительно того же базиса), получается путем «отражения» таблицы умножения алгебры E в ее «диагонали»; коммутативная алгебра характеризуется тем, что ее таблица умножения «симметрична относительно своей диагонали».
Точно так же для того, чтобы элемент ак рассматриваемого базиса был единицей алгебры Е, необходимо и достаточно, чтобы O-KaX-O-XaK-aX'. каково бы ни было К, т. е. чтобы ухх^ = Уххр при Ф К и уцхх = Ухкх= в, каково бы ни было К.
4
АЛГЕБРЫ
287
Алгебра E относительно поля К является векторным пространством относительно К; его размерность относительно К (§ 3, определение 1) чаще всего называют рангом алгебры E относительно К (или степенью E относительно К, если E — поле)', напомним, что этот ранг в случае его конечности обозначается [Е-К\ (§ 3, п° 2).
3. Подалгебры. Идеалы. Фапторалгебры
Пусть E — алгебра относительно кольца А. В любом под-кольце F кольца с операторами E (т. е., по определению, устойчивом подкольце этого кольца; см. гл. I, § 8, п° 4) структура, индуцированная заданной в E структурой алгебры, тоже есть структура алгебры относительно А; наделенное этой структурой, F называется подалгеброй алгебры Е. Каково бы ни было множество MdE, множество N тех элементов из Е, которые перестановочны с каждым элементом из М, есть подалгебра алгебры E (гл. I, § 8, предложение 2); в частности, центр алгебры E есть ее подалгебра.
Нет необходимости вновь определять понятие (левого, правого или двустороннего) идеала алгебры: оно было определено более общим образом для любого кольца с операторами (гл. I, § 8, п°5).
Если а — двусторонний идеал алгебры E (относительно кольца А), то структура кольца с операторами в фактормножестве Eja есть структура алгебры относительно А; наделенное этой структурой, Eja называется факторалгеброй E по а.
4. Представления
Пусть EaF — алгебры относительно одного и того же кольца А; мы уже определили (гл. I, § 8, п° 8) представления EbF; напомним, что отображение и алгебры EbF есть представление, если оно удовлетворяет тождествам
и(х-'гу) = и(х) + и(у), и (ху) = и (х) и (у), и(ах) = аи(х) (а?Л, х?Е, у?Е).
Можно также сказать, что и есть представление EbF, если оно есть линейное отображение Л-модул я E в Л-модул г, F
288
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 7
и одновременно представление относительно мультипликативных законов, заданных в E и F.
Все свойства представлений колец с операторами относятся, в частности, к представлениям алгебр: если и—представление EbF,
-і
то и (E) есть подалгебра алгебры F; Q = и (0) есть двусторонний идеал алгебры Е, и (E) изоморфно факторалгебре Е/а, и и есть композиция канонического гомоморфизма E на Е/Q и изоморфизма Е/й на и (E); если G — подалгебра алгебры Е, то и (G)-подалгебра алгебры F, изоморфная факторалгебрам G/(G|~)q) и (G + a)/a.
