Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, и здесь отношение «X и X' подобны» есть отношение эквивалентности в множестве всех квадратных матриц п-то порядка над А.
Замечания. 1) Две квадратные матрицы, отличающиеся лишь порядком строк (или столбцов), эквивалентны, но, вообще говоря, не подобны. Матрица, подобная квадратной матрице ЛГ=(|І}), получится, если подвергнуть одной и той же подстановке а"1 и строки и столбцы, т. е. если рассмотреть матрицу ЛТ' = (|у), где |і/ї= = la(i) а ^ для каждой пары индексов (г, /); действительно, легко видеть, что X'=PXP'1, где P — матрица подстановки ст'1 (индексов базиса (гц) модуля Е).
2) Две подобные матрицы над одним и тем же телом К очевидно имеют одинаковый ранг, поскольку они эквивалентны (предложение 9). Ho здесь это необходимое условие уже не достаточно для того, чтобы две квадратные матрицы над К были подобными; необходимые и достаточные условия в случае поля К будут даны в главе VII.
3) Пусть X и X' — квадратные матрицы га-го порядка, записываемые в форме «диагональных» клеточных квадратных матриц (п° 5):
ГXx 0 ... О \ /Х[ 0 ... О
OX',... о
.0 О ... X J \ о О ... Х'р/
соответствующих одному и тому же разбиению множества индексов [1, я] и для X, и для X'. Если Xi и Xi для каждого і (1 < г<р) подобны, то X и X' подобны; действительно, если Х\ = PiXiPi1 для всех і (1 <; і р), то, как показывает правило «поклеточного» вычисления произведения (n° 4), X'=PXP', где
P1 0 ... 0\
МАТРИЦЫ
279
Упражнения. 1) Пусть E — унитарный правый Л-модуль и Ar— кольцо квадратных матриц r-го порядка над А. Определим на множестве Er внешний закон композиции, имеющий Ar своим множеством операторов, обозначив через х^Р, для каждого элемента х = (хі)1<і<г из E1 и каждой матрицы Р = (Ctij-) из A1., элемент у=(у^) из Er, в котором
Этот внешний закон есть закон аддитивной группы на Er, определяющий в этом множестве структуру правого модуля относительно кольца Ar. Показать, что для того, чтобы Л-модуль E допускал систему г образующих, необходимо и достаточно, чтобы Лг-модуль Er был моногенным.
2) Пусть А —кольцо с единицей, — разбиение интер-
вала [1, п] натурального ряда и каждая квадратная матрица п-то порядка X над А представлена в форме квадратной клеточной матрицы (Xij),] соответствующей одному и тому же разбиению (Li) множества индексов строк и множества индексов столбцов.
а) Показать, что матрицы X, длн которых клеточная матрица (Xil) «треугольная», т. е. такая, что Xij=O при і < /, образуют подкольцо кольца Mn (А). Как можно охарактеризовать эндоморфизмы, которым соответствуют эти матрицы?
б) Показать, что если каждая из квадратных подматриц Xii (1 < і < р) такой матрицы X обратима, то и X обратима, причем X"1 снова является треугольной клеточной матрицей. Доказать, что если А — тело, то это достаточное условие обратимости матрицы X также необходимо.
3) Пусть A= Z/(30). Показать, что у матрицы
над кольцом А строки линейно независимы, но любые два столбца линейно зависимы.
*4) Пусть X — матрица из т строк и п столбцов над телом К; показать, что ее ранг q (X) равен наибольшему из рангов ее квадратных подматриц. [Пусть q (Х)=г и аи а2, ..., а,- — г столбцов матрицы X, образующие в К™ свободную систему; образовав базис пространства К™ из этих г векторов и т — г векторов канонического базиса (е{), показать, что компоненты векторов ах, аг, ..., аг по г остальнымвек-торам канонического базиса образуют матрицу ранга г.]
5) Пусть X — матрица из т строк и п столбцов над телом К иг — ее ранг. Показать, что ранг подматрицы из т строк и s столбцов, получающейся путем вычеркивания п — s столбцов матрицы X, г+® — п.
Г
Vi= У xJaJi О П-
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 6
6) Пусть Х=(аг () — матрица из т строк и п столбцов над телом К. Для того чтобы X была ранга 1, необходимо и достаточно, чтобы в К существовали семейства (^t)i<i<m из т элементов, не равных все нулю, и (|і,)к)<п из га элементов, не равных все нулю, такие, что Oii=XiU./ для каждой пары индексов (г, /).
*7) Пусть E — правое векторное пространство над телом К и II — его гиперплоскость. Всякий эндоморфизм и пространства Е, оставляющий все элементы из H инвариантными, дает при факторизации эндоморфизм одномерного факторпространства Е/Н, тем самым
имеющий вид x^xji(x), где (.1 (х) 6 А' и (хХ)=Х~\\, (х) X. Автоморфизм и, оставляющий все элементы из II инвариантными, называется сдвигом, если соответствующий автоморфизм факторпространства Е!Н есть тождественное отображение, и растяжением — в противном
случае; если и — растяжение, то множество всех элементов |х (х), являющееся классом сопряженных элементов (гл. I, § 7, п° 5) в мультипликативной группе К* ненулевых элементов тела К, называется классом растяжения и.
а) Показать, что для каждого растяжения существует, и притом лишь одна, дополнительная к H прямая, инвариантная относительно этого растяжения.
б) Пусть ф — линейная форма, для которой #=ф(0); показать, что для каждого сдвига и существует однозначно определенный вектор а?Н такой, что и (ж)=ж+аф (х). Обозначая через Т(Е,Н) группу всех автоморфизмов пространства Е, оставляющих инвариаптным каждый элемент из H, показать, что сдвиги (относительно Н) образуют ее нормальную коммутативную подгруппу 0 (Е, Н), изоморфную аддитивной группе Я; факторгруппа Г (Е,Н)/& (Е, Н) изоморфна К*.
