Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
И) Пусть X и Y — матрицы из то строк и п столбцов над телом К", если существуют квадратные матрицы то-го порядка Р, P1 и квадратные матрицы я-го порядка Q, Q1 такие, что Y=PXQ и X=P1YQ1, то X и Y эквивалентны. [Использовать предложение 9.]
12) Пусть X, X', У, Y' — квадратные матрицы п-го порядка над кольцом А с единицей, причем X обратима. Для того чтобы существовали обратимые квадратные матрицы п-го порядка PkQ такие, что Xr=PXQ и Y1=PYQ, необходимо и достаточно, чтобы X' была обратима, а хМатрицы YX~X и Y'X1 'г подобны.
§ 7. Алгебры
Все рассматриваемые в этом параграфе кольца операторов предполагаются коммутативными и содержащими единицу.
1. Определение алгебры
Определение 1. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей є. Алгеброй (или гиперкомплексной системой) над А (или относительно А) или также А-алгеброй называется всякое кольцо с операторами Е, внешний закон которого имеет множеством
I
АЛГЕБРЫ
283
€воих операторов кольцо А и вместе с заданным в E сложением определяет в E структуру унитарного А-модуля *).
Другими словами, алгебра над А есть кольцо Е, наделенное внешним законом (записываемым в виде левого умножения), имеющим А своей областью операторов и удовлетворяющим следующим тождествам:
а (х + у) = ах + ay, (1)
(а -j- Р) х = ах -j- P^. (2)
а ((te) = (а|3) х, (3)
EX = X. (4)
а{ху) = (ах) у = х (ау) (5)
(а?А, РЄ А, х Є Е, у Є Е).
Отсюда вытекает общая формула дистрибутивности
(2 аА) (X = 2 KPj) (aWf) (6)
і J і, І
Кб P.; 6 хі?Е, У^Е).
Примеры. 1) Каждое кольцо E с единицей может быть наделено структурой алгебры относительно любого подкольца А своего центра (с тем же единичным элементом, что и у Е), если за композицию оператора z ? А и элемента х ? E принять произведение zx(=xz) этих элементов в кольце Е.
2) Структура кольца с операторами, определяемая в любом кольце E внешним законом (л, х) -> пх, где п ? Z (гл. I, § 8, п° 2), есть структура алгебры относительно кольца Z.
°3) Пусть I — открытый интервал числовой прямой R. Кольцо всех непрерывных числовых функций на I будет наделено структурой алгебры над полем R, если для каждой непрерывной числовой функции / на I и каждого вещественного числа X понимать под Xf функцию t -» Xf (г).о
Структура кольца с операторами, противоположная заданной в алгебре E над А, также есть структура алгебры над А;
*) В обычно употреблявшейся до сих пор терминологии «алгебрами» назывались исключительно алгебры над полем; это действительно наиболее часто встречающиеся алгебры. Если на протяжении какой-нибудь главы нам придется рассматривать лишь алгебры этого рода, мы будем считать себя вправе придавать в этой главе слову «алгебра» всюду смысл «алгебра над полем», причем будем явно оговаривать эту вольность речи.
284
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 7
наделенное этой структурой алгебры, E называется алгеброй, противоположной заданной.
Если внешний закон алгебры E над А сузить на подкольцо В кольца А (имеющее тот же единичный элемент, что и А), то этот закон (вместо с заданными в E сложением и умножением) опре-^делит в множестве E новую структуру алгебры, которую следует отличать от структуры алгебры, имеющей своим кольцом операторов А.
Замечания. 1) Позже (в теории «алгебр Ли») нам придется рассматривать алгебраические структуры, определяемые в некотором множестве E заданием двух внутренних законов и внешнего закона, имеющего множеством своих операторов коммутативное кольцо, причем будут выполнены все аксиомы алгебр, за исключением ассоциативности умножения в Е; по аналогии множество, наделенное такой структурой, будет называться «неассоциативной алгеброй».
2) Можно было бы попытаться обобщить определение 1, отбросив ограничение коммутативностью, наложенное на кольцо операторов А; но из условия (5) видно, что в наиболее важных случаях это обобщение было бы лишь кажущимся: действительно, аннулятор а А-ио-дуля E (§ 1, п° 9) есть двусторонний идеал, факторкольцо по которому А/а коммутативно, а перейдя к точной структуре, ассоциированной со структурой Л-модуля в E (§ 1, п° 9), мы увидели бы, что получили в E структуру алгебры относительно А /а (см. упражнение И).
Часто приходится рассматривать в алгебре E структуру левого (или правого) модуля относительно ее некоммутативного подкольца В', не следует думать, что E есть алгебра над В (для элементов а ? В соотношение (5), вообще говоря, не будет выполняться).
2. Базисы алгебры. Таблицы умножения
Наиболее интересны те алгебры, которые, рассматриваемые как модули относительно их кольца операторов А, допускают базис относительно А (§ 1, п° 6); это всегда имеет место для алгебр над полем (§ 3, теорема 1).
Как вытекает из формулы (6), в алгебре Е, имеющей базис относительно своего кольца операторов А, умножение вполне определено, если известны, с одной стороны, умножение в кольце А, а с другой — всевозможные попарные произведения элементов базиса. Если — базис в E относительно А, то
каждый элемент из E однозначно представляется в виде 2 SXaXi
