Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что, каково бы ни было х? Е, х2 = Xx-f- fi, где Х=х-\-х її (і= — XX= — TV (х) принадлежат А. Таким образом, если х$А. то подалгебра Ax алгебры Е, порожденная элементами 1 и х. есть квадратичное расширение кольца А с базисом, образованным этими двумя элементами; очевидно, E есть (левый и правый) модуль относительно коммутативного кольца Ax, но не является алгеброй над этим кольцом (если А и Ax — поля, то E — векторное пространство размерности 2 над Ax).
294
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
гл. її Л 7
9. Примеры алгебр'. IV. Моиоидиая алгебра. Групповая алгебра
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, S — моноио (гл. I, § 1, п° 3), для которого мы примем мультипликативное обозначение, и E = — модуль формальных линейных комби-
наций (с коэффициентами из А) элементов моноида S (§ 1, п° 8); как мы знаем, канонический базис этого модуля отождествляется с множеством S, так что каждый элемент из E записывается (однозначным образом) в виде 2 ass> гДе I,ce Є А. HE можно
s?S
определить теперь структуру алгебры относительно А, приняв за произведение элементов s, t канонического базиса S их произведение st в моноиде S; ясно, что условия ассоциативности (8) при таком определении удовлетворяются. Так определенная алгебра E называется моноидной алгеброй моноида S относительно кольца А. Таким образом, для любых элементов х= 2 a3s’
У — 2 Pss ЭТОЙ алгебры имеем ху = 2(2 afPu) s-
s «ES (u=s
Замечания. I) В случае, когда S — аддитивно записываемый коммутативный моноид, его уже нельзя отождествлять с каноническим базисом модуля AiS\ так как это могло бы повлечь смешение аддитивных законов, заданных в S и элемент канонического ба-
зиса модуля соответствующий элементу s моноида S, в этом случае можно, окажем, обозначать es; таблицей умножения этого базиса будет тогда е8е<
2) Пусть ? — мультипликативный моноид и (е.) — канонический базис модуля Определение моноидной алгебры моноида S отно-
сительно А можно обобщить, приняв за таблицу умножения базиса (е8) соотношения
=a,, teat (a,. (?/1) с условиями ассоциативности
<, I^-Sl. и — , / "^ /. V
для произвольных s, I, и из S. Семейство (as, () называется системой факторов определенной так алгебры. EcnHYs для каждого s—обратимый элемент кольца А, то элементы e*=yHes образуют базис модуля .4®, с таблицей умножения
¦ > АЛГЕБРЫ 295
Иными словами, алгебры, соответствующие системам факторов (сц, ()
f у,Vf
и і - - - ач,,( ), изоморфны (см. упражнение 12).
'.Ysi ./
Если S коммутативно, то это же верно и для алгебры осли S обладает нейтральным элементом е, то е есть также единица алгебры v4(s).
Если T — устойчивое множество элементов моноида S (гл. 1,
§ 4. гг 2). то множество всех элементов вида 2 ass есть по^~
S?T
алгебра алгебры , изоморфная моноидной алгебре А(Т) моноида T относительно А, и отождествляется с этой последней.
Пусть В — подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный
элемент, что и А; множество всех элементов 2 0^s алгебры A(S\
s?S
в которых для каждого Sg S, есть подкольцо кольца
(без операторов) v4(S), но не подалгебра относительно кольца А\ его структура алгебры относительно кольца В отождествима со структурой моноидной алгебры B(S) моноида S относительно кольца В.
Каждое представление / моноида S в алгебру E относительно А (рассматриваемую как моноид относительно одного умножения) можно, и притом единственным образом, продолжить до представления / алгебры -4(S) в E, положив / (2 ass) ~ S aJ (s)-
s?S s?S
Пусть теперь ф — представление кольца А в коммутативное кольцо В с единицей; будем считать моноидные алгебры A(S> и Z?(S) одного и того же моноида S наделенными лишь их структурой кольца (без операторов), лежащей в основе их структуры алгебры. Положив тогда /(2ass ) = S ф W s> мы получим пред-
•s?S s?S
ставление / кольца в кольцо Z?(S). Если S обладает единицей, так что А (соответственно В) может быть отождествлено с под-
г;ольцом кольца ^4(S) (соответственно 2?(S)), то представление / есть продолжение представления ф.
Наиболее важными моноидными алгебрами являются групповые алгебры относительно полей.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 7
Применение: м од ули и группы с операторами. Понятие моноидной алгебры позволяет свести изучение любых коммутативных групп с операторами к изучению модулей.
Говоря точнее, с каждой структурой коммутативной группы с операторами в множестве E можно ассоциировать структуру модуля, имеющую тот же закон аддитивной группы и такую, что:
I0 каждая устойчивая подгруппа в E (относительно заданных внешних законов) будет подмодулем в E (относительно ассоциированной структуры модуля), и обратно;
2° каждое представление группы с операторами E в гомологичную группу F (гл. I, § 4, n° 1) будет представлением модуля, ассоциированного с ?, в модуль, ассоциированный с и обратно.
При доказательстве будем для всех заданных на E внешних зако нов пользоваться мультипликативным обозначением. Пусть Q—сум ма (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) областей операторов всех этих внешних законов, и отождествим каждую из этих областей с соответствующим ей подмножеством в Q. Пусть L (Q) — свободный моноид (гл. I, § 1, п° 3), порождаемый множеством Q; мы определим внешний закон композиции (а, х) -> ах на Е, имеющий L(Q) своей областью операторов, индукцией по длине слова а в L (Q); если а — длины 1, то оно принадлежит одной (и только одной) из областей операторов заданных на E внешних законов, и ах определено. Если теперь Kx определено для всех слов X длины п — 1 и а — слово длины п, то имеем Ct=Pw где у—длины п — I, a P — длины 1, и мы полагаем тогда a» = P(Y»). Индукция по длине слова а показывает, что, каковы бы ни были слова а и р из L (Q), а (Рж)=(сф) ж для каждого х?Е. Пусть теперь А — моно-идная алгебра моноида L (Q) относительно кольца Z рациональных целых чисел; определим внешний закон композиции (а, х) ->¦ ах на Е,
