Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Пусть К — поле характеристики 2 и E — его квадратичное расширение, имеющее базис, образованный элементами 1 и и, где «2 = аи-|-Р (а Є К, PC К). Показать, что если уравнение х2 — ах — —P=O не имеет в К корня, то E—тело; если это уравнение имеет два различных корня, то E есть прямая композиция двух полей, изоморфных К\ наконец, если оно имеет только один корень (что возможно, лишь когда а=0), то E изоморфно алгебре, обладающей базисом 1, и, где V2=O.
Линейное отображение, оставляющее 1 инвариантной и заменяющее и иа м+а, есть автоморфизм алгебры E.
3) Если А — коммутативное кольцо с единицей и характеристикой Ф2, то центр алгебры кватернионов над А, соответствующей паре элементов (а, Р), не являющихся делителями нуля, совпадает с А.
4) Пусть К —поле характеристики Ф2; показать, что алгебра кватернионов над К, соответствующая паре (I, Р), изоморфна алгебро всех матриц второго порядка над К. [Рассмотреть базис алгебры квя-
1 t 1 тернионов, образованный элементами — (1 — и), —(1- и),
Tf 0' -
*5) Каждая алгебра кватернионов ? над полем А' характеристики 2 коммутативна, и квадраты всех х?Е принадлежат К. Поэтому подалгебра Kx алгебры Е, порожденная элементом х § К, является квадратичным расширением К. & E — квадратичным расширением Kx-
Показать, что множество С тех элементов из Е, квадрат которых равен квадрату какого-нибудь элемента из К, есть векторное подпространство в E размерности 1, 2 или 4. Если С одномерно (в этом случае C=K), то E — тело. Если С двумерно, то в E существует квадратичное расширение Kx поля К, являющееся телом, и E имеет базис относительно Kx, образованный элементами 1 и и, где и2=0; множество а тех у ? Е, для которых у-=0, есть идеал размерности 2, и Е/а изоморфно Kx. Наконец, если С имеет размерность 4 (и значит, совпадает с Е), то множество о тех у ? Е, для которых у2 = О, есть идеал размерности 3 и Е/а изоморфно К; в E существует базис (1, е,, е.>, е3) такой, что e\=el=e$=0, е1е., = е3, е,е3 = е2е3=0; Ке3=Ь есть единственный одномерный идеал в Е\ он является аннулятором идеала о, и а/6 есть прямая сумма двух взаимно аннулирующихся в Е/Ь одномерных идеалов.
*6) Пусть К — поле характеристики =2 и E — алгебра ранга 'i над К, обладающая базисом (1, и, v, w), где 1 — единичный элемент.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ П. ^ '
а попарные произведения элементов и, v, w задаются формулами (13). в которых а заменено нулем.
а) Если P не является в К квадратом, то в ? не существует одно мерного левого (соответственно правого) идеала; множество о тех х ? E, для которых ^2=O, есть двусторонний идеал размерности 2, и FJa есть тело, изоморфное некоторому квадратичному расширению поля А .
б) Если P является в К квадратом Ф0, то в E существует баяне (е,, е2, е3, C1) со следующей таблицей умножения:
eI «3 «4
pI «1 0 е3 0
е2 0 eI 0 ei
«3 0 г3 0 0
0 0 0
Множество а тех х ? Е, для которых х2=0, есть двусторонним идеал размерности 2, являющийся прямой суммой взаимно аннулирую щихся двусторонних идеалов Кея и Kei; эти последние являются един ственными одномерными (левыми или правыми) идеалами в Е. Фак-торалгебра E/а есть прямая композиция двух полей, изоморфных К.
в) Если P=O, то множество а тех х?Е, для которых ж2 = О, есть двусторонний идеал размерности 3; Kw = b есть единственный одномерный (левый или правый) идеал в Е; это — двусторонний идеал, являющийся левым и правым аннулятором' идеала а. а/Ъ есть пря мая сумма двух взаимно аннулирующихся одномерных двусторонних идеалов факторалгебры Е/Ъ; наконец, E/а есть поле, изоморфное К
7) Пусть К — поле характеристики ф2 и E — алгебра над А , обладающая базисом из четырех элементов 1, г, /, к (где 1 — единич ный элемент), с таблицей умножения
Z2 = Z2=A2=I, ij = ji = k, jk = kj — i, ki=ik = j.
Показать, что E есть прямая композиция четырех полей, изоморфных А . [Рассмотреть базис алгебры Е, образованный элементами
(1 + ег) (1 + е'/),
где є в в' равны -f 1 или —1.J
E есть групповая алгебра (относительно К) произведения дву.\ циклических групп второго порядка. Обобщить на групповую алгебру произведения Tl циклических групп второго порядка.
*8) Кеатернионная группа D (гл. I, § 6, упражнение 20) изоморфна группе из восьми кватернионов ±1, ±і, і/, в алгебре кватернио нов (относительно пары (—I, —1)) над полем характеристики ф2. Показать, что групповая алгебра E группы Q относительно поля К характеристики ф2 есть прямая композиция четырех полей, изоморфных К, и алгебры кватернионов (относительно пары (—I —1)) над А’.
АЛГЕБРЫ
301
(Элементы группы ?. можно записать в виде е, і, /, к, с, ci, cj, ск, где с — элемент, соответствующий кватерниону —1; рассмотреть
1 1
базис алгебры Е, образованный элементами — (е+с), — (е — с),
11111 1
у (е + с) і, у (е — с) і, у (e-j-c)/, у(е— с)/, Y (е-f с)'/с, — (е — с) /г.] .
*9) Показать, что групповая алгебра E диадралъной группы S8 восьмого порядка (гл. I, § 6, упражнение 20) относительно поля К характеристики ф2 есть прямая композиция четырех полей, изоморфных К, и алгебры всех матриц второго порядка над К. [Элементы группы S8 имеют вид а'Ы (0 С і 3, 0 <! / 1), где а и b — обра-
