Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 119

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 201 >> Следующая


зующие этой группы, рассмотренные в упражнении 20 § 6 главы I;

1

рассмотреть базис алгебры Е, образованный элементами — (е \ я2),

111

— (е — а2), у (а+а8), — (я—а3) и четырьмя элементами, полученными

из них умножением справа на Ь; использовать упражнение 4.] Вывести отсюда, что если —1 является в К квадратом, то групповые алгебры групп Q и Ф8 относительно К изоморфны.

Показать также, что групповая алгебра F диэдральной группы S0 шестого порядка относительно поля К характеристики =^= 2 и ф 3 есть прямая композиция двух полей, изоморфных К, и алгебры всех матриц второго порядка над К. [Рассмотреть здесь базис алгебры F, образованный элементами е+а + а2, а + а2 — 2е, а —а2 и тремя элементами, полученными путем умножения их справа на Ь.}

10) Пусть G — группа, H — ее нормальная подгруппа и а —

двусторонний идеал групповой алгебры Л^\ порожденный элементами ts — s, где t пробегает Hms пробегает G. Показать, что групповая алгебра изоморфна факторалгебре А(С^/а.

11) Пусть E — левый модуль над некоммутативным кольцом А; предположим, что на E определено умножение, которое, вместе с законом аддитивной группы и внешним законом заданной в E структуры модуля, определяет в E структуру кольца с операторами, имеющую своей областью операторов А. Показать при этих условиях, что (сф) (ху) — фа) (ху), каковы бы ни были а ?А, P € А, х 6 Е, у ? Е. Вывести отсюда, что если каждый элемент модуля E есть произведение двух элементов из E (что всегда выполняется, если E обладает единицей), то факторкольцо А/а, где о — аннулятор Е, коммутативно.

*12) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей 1 и S — мультипликативный моноид с единичным элементом е. Предположим, что на А задан внешний закон (s, х) —> я4, имеющий S своей областью операторов и такой, что отображение х —> ж5 при каждом s ? S есть автоморфизм кольца А и (х^)1=х^1, каковы бы пи были s и t из S (откуда следует, что е есть нейтральный оператор рассматриваемого
.'J И НЕЙ HAH ЛЛГЕЬРА

гл. п, 5 7

внешнего закона). При этих условиях определим на А -модуле канонический базис которого мы обозначим (/s), мультипликативный внутренний закон композиции соотношением

(2 (2 ^)=2 ( 2 ^tytu)/,.

и ¦' Iu=S-

где а<, і — коэффициенты, принадлежащие А.

Показать, что этот закон и сложение определяют в Л*-"’-1 структуру кольца, если только коэффициенты я... ( удовлетворяют условиям

Ia^t, и ~а1,иа^' tu’

каковы бы ни были s, I, и из S. Если при этом ае, . = а.,,— 1 для каждого s ?S, то /е есть единичный элемент этой структуры; в этом случае А отождествимо с подкольцом кольца .4(S>, a .-If'4'' есть алгебра над подкольцом С кольца А, образованным элементами, инвариантными относительно всех автоморфизмов х — * г'; эта алгебра называется скрещенным произведением кольца А и моноида S относительно системы факторов (as, t). Если эту систему заменить системой факторок

(—^-«8,1/ > r^e cs Для каждого s ? S есть обратимый элемент из .1

\csi /

и Ce= 1, то полученное так новое скрещенное произведение будет изоморфно скрещенному произведению, определяемому системой факторов (аи ().

Приняв, в частности, за/1 квадратичное расширение кольца В, а за S —циклическую группу второго порядка {е, s\, так, чтобы х''— .>• для каждого х ? А, показать, что каждое скрещенное произведение А и S есть алгебра кватернионов над В (или алгебра с той же таблицей умножения, но в которой по крайней мере один из элементов а, [І. ар равен нулю).

*13) Пусть S — мультипликативный моноид с единицей >. удовлетворяющий условию (D) п° 10 и такой, что в нем соотношение st = e влечет s=t=e.

а) Показать, что для любого элемента s?S существует число V (s), зависящее только от s, такое, что число п членов всякой конем ной последовательности (*і)і<г<п элементов, отличных от е, для которой tit;,... tn=s, меньше V (s).

б) Вывести отсюда, что для того, чтобы элемент X=T^asS рас-

ширенной моноидной алгебры моноида S над кольцом А был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы as был обратимым в А. [Свести к тому случаю, когда ае = 1, и воспользоваться тождеством с - zn+1 = = (e_z) Z1 ~ ... — zn) в расширенной моноидной алгебре моноида S над А.] *
11 P И JI О Ж E Ii И E 1 К ГЛАВЕ II

ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

1. Определение полулинейных отображений

Пусть А и В — изоморфные кольца (коммутативные или нет) и а — изоморфизм А на В\ образ элемента % ? А при отображении а будем обозначать X0. Отображение и Л-модуля E в В-модуль F называется полулинейным относительно изоморфизма а, если оно удовлетворяет тождествам

и (х Л-у) = и (х) + и (у), и (fKx) = X0U (х).

Чаще всего встречаются на практике полулинейные отображения, относящиеся либо к случаю, когда В = А (и, значит, а — автоморфизм кольца А), либо к случаю, когда В есть кольцо A0, противоположноо А. Наиболее важны те случаи, где А — квадратичное, расширение (? 7, п° 7) поля К (соответственно алгебра кватернионов (§ 7, п° 8) над К), а а —автоморфизм (соответственно антиавтоморфизм) E1 —>

В этих двух случаях полулинейное отображение называют также антилинейным.
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed