Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 5. Пусть X — матрица из т строк и п столбцов над телом К. Ее рангом Q (X) над К называется размерность подпространства в Kd1, порожденного п столбцами матрицы X.
Можно также сказать, что ранг матрицы X — это наибольшее число ее линейно независимых столбцов. Согласно определению 5, Q(X)Cmin (т, п); для каждой подматрицы Y матрицы X имеем Q (У) С Q (X).
270
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § <>
Если EuF — конечномерные векторные пространства и и — линейное отображение E в F, то ранг матрицы M (и) (относительно любых базисов в E и F) равен рангу и.
Понятие ранга матрицы лишь на вид зависит от тела, к которому считаются принадлежащими элементы матрицы. А именно:
Предложение 2. Если элементы матрицы X из т строк и п столбцов принадлежат подтелу K0 тела К, то ранг X относительно K0 равен рангу X относительно К.
Действительно, столбцы матрицы X принадлежат подпространству H0 над телом K0, порожденному каноническим базисом пространства К™; поэтому справедливость предложения вытекает из следствия 3 предложения 6 § 5.
Из доказанного выше предложения 1 и теоремы 4 § 4 вытекает
Предложение 3. Ранг матрицы X над телом К равен рангу транспонированной матрицы tX.
Тем самым ранг матрицы X равен также наибольшему числу ее линейно независимых строк (рассматриваемых как элементы левого модуля Ks).
Квадратные матрицы ?г-го порядка над телом К соответствуют эндоморфизмам пространства Е = К%\ они образуют кольцо, изоморфное кольцу X (E) эндоморфизмов пространства E (п° 5); поскольку автоморфизмам этого пространства соответствуют обратимые квадратные матрицы, из следствия предложения 11 § 3 вытекает
Предложение 4. Для того чтобы квадратная матрица п-го-порядка над телом К была обратимой, необходимо и достаточно,, чтобы она была матрицей ранга п.
8. Матрицы и линейные уравнения
: і Пусть А — кольцо с единицей; рассмотрим систему т линейных (справа) уравнений с п неизвестными, коэффициенты которой, и свободные члены принадлежат А:
SaU^ = Pi (I <i<m). (16>
3=1
.9
МАТРИЦЫ
271
Пусть (ej — канонический базис произведения E = Ad1; как мы знаем (§ 4, пс 7), система (16) равносильна уравнению
?«& = *• (17)
J=I
m m
где ау = 2 ^iCCij, Ь=У Єір..
I==I І--1
Матрица А = (Ctij) из т строк и п столбцов называется матрицей системы (16); сказать, что система (16) имеет решение, все равно, что сказать, что матрица, образованная одним столбцом b = (Pi), есть линейная комбинация п столбцов матрицы А.
Когда речь идет о системе (16) над телом К, приведенное только что истолкование в соединении с определением ранга матрицы дает
Предложение 5. Для того чтобы система (16) т линейных уравнений с п неизвестными над телом К имела решение, необходимо и достаточно, чтобы матрица В, полученная путем окаймления матрицы A = (OLij) системы (пЛ-\)-м столбцом (Pi), образованным свободными членами уравнений, имела тот же ранг, что и А.
Это условие всегда выполнено, когда т = п и А —обратимая матрица, т. е. матрица ранга п (предложение 4). Замечая, что если обозначить через х матрицу, состоящую из одной строки (п°4), то уравнение (17) запишется в виде А-х=Ъ, заключаем, что в этом случае имеется единственное решение, а а именно задаваемое формулой х=А~1-Ъ.
9. Переход к новому базису
Предложение 6. Пусть E — унитарный правый А-модулъ, имеющий базис (Ai)I?; состоящий из п элементов. Для того чтобы
П
семейство из п элементов ах = 2 UiCLji (1 -< г <: п) было базисом
У= і
модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица п-го порядка P~ (CCji) была обратима.
272
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. IX, § 6
Действительно, P есть не что иное, как матрица эндоморфизма и модуля Е, определяемого условиями и (Cii)=Cii (1 < і < п) , относительно базиса (а4). Ho для того, чтобы и был автоморфизмом модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы (at) было базисом этого модуля (§ 2, следствие 2 предложения 3), чем справедливость предложения и доказана.
Обратимая матрица P называется матрицей перехода от базиса (Oi) к базису (а{). Ее можно также рассматривать как матрицу тождественного отображения ф модуля E на себя относительно базисов (а{) и (а{) (в этом порядке); из формулы (4) сразу следует тогда, что матрицей перехода от базиса (а{) к базису (ал) служит матрица P1, обратная к Р.
Предложение 7. Пусть (а\) и (а\) — базисы, сопряженные соответственно к (а{) и (Cii); матрицей перехода от базиса (а[) к базису (а'і) служит матрица iP'1, контрагредиентная к матрице P перехода от базиса (а{) к базису (а{).
Действительно, сопряженное к тождественному отображению Ф модуля E на себя есть тождественное отображение ф' сопряженного модуля Е* на себя; согласно предложению 1, матрица отображения ф' относительно базисов (а[) и (а<) (в этом порядке) получается путем транспонирования матрицы отображения ф относительно базисов (^i)и (at) (в этом порядке), т. е. транспонирования матрицы P1.
Предложение 8. Пусть EuF — унитарные правые А-модули, имеющие соответственно базисы (а,.)і и (Ъ^)состоящие из пит элементов. Пусть, далее, и — линейное отображение E в F и U — его матрица (из т строк и п столбцов) относительно базисов (aJ и (I)j). Наконец, пусть (Cti)rzi^n— второй базис в Е, (bj)i^j<^m — второй базисе F, P — матрица перехода от (а4) к (at) и Q — матрица перехода от (bj) к (bj). Тогда матрица U' отображения и относительно базисов (at) и (63) задается формулой
