Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
и(х) — М(и)х. (10)
о. Квадратные матрицы
Определение 3. Квадратной матрицей называют матрицу, строки и столбцы которой имеют одно и то же множество индексов.
Квадратная матрица, имеющая п строк и п столбцов, называется матрицей п-го порядка.
Когда говорят о квадратной матрице n-го порядка, не указывая (общего) множества индексов строк и столбцов, под этим множеством подразумевают интервал [1, п\ натурального ряда.
Замечание. Следует иметь в виду, что матрица над А, у которой множества L, M индексов строк и столбцов имеют одно и то же число элементов, но не совпадают, не должна считаться квадратной матрицей; в частности, произведение двух таких матриц не определено.
Пусть L — конечное множество индексов, А — кольцо с единицей ей E — правый .<4-модуль, имеющий базис (ax)x?L, множеством индексов которого служит L. Матрица M (и; (ах), (ах)} каждого эндоморфизма и модуля E относительно двух базисов, совпадающих с (а*,), квадратная; для краткости ее называют матрицей и относительно базиса (ах).
5
МАТРИЦЫ
265
Сложение и умножение квадратных матриц, имеющих в качестве множества индексов строк и столбцов множество L из п элементов, определяют в множестве этих матриц (на основании формул (6), (7) и (8)) структуру кольца; если никакого недоразумения по поводу множества индексов можно не опасаться, определенное так кольцо матриц обозначается просто Mn (А).
Отображение и —> M (и) есть изоморфизм кольца X (E) эндоморфизмов модуля E на кольцо Mn (А). Единичный элемент кольца Mn (А) отвечает при этом изоморфизме тождественному автоморфизму модуля Е; тем самым им служит матрица (Sjwi), где 8\ц — кронекеровский символ (§ 4, п° 4). Там, где можно не опасаться путаницы, эта матрица будет обозначаться In (или In, когда единичный элемент кольца А обозначается 1). Обратимые элементы кольца Mn (Л), называемые обратимыми матрицами, при изоморфизме u—>M(и) соответствуют автоморфизмам модуля Е.
Примеры квадратных матриц. I. Диагональные матрицы. Элементы квадратной матрицы X = (Ixm)1 имеющие равные индексы, называют диагональными элементами, а семейство (Ija)xeL-' диагональю матрицы X. Матрицу, все не диагональные элементы которой равны нулю, называют диагональной матрицей; единичная матрица In диагональная, равно как и все ее кратные Qln = InQ, где q — скаляр (все диагональные элементы которых равны q); заметим, что, какова бы ни была матрица X^Alxm (где M — любое конечное множество индексов), (Qln) X = Q X и, какова бы ни была матрица Y?Amxl, Y(Qln) = YQ.
Если X и Y — диагональные матрицы, имеющие соответственно диагонали (|*,) и (т]х), то сумма X + Y есть диагональная матрица с диагональю (1?. + ?), а произведение XY — диагональная матрица с диагональю (|а,г]я); таким образом, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца Mn (Л), изоморфное произведению Al (или An), а матрицы Qln образуют подкольцо кольца диагональных матриц, изоморфное А.
II. Диагональные клеточные матрицы. Пусть (Lj)1<;i<p— разбиение множества L; каждая квадратная матрица, имеющая L мпожеством индексов строк и столбцов, может быть записана в виде «квадратной клеточной матрицы», соответствующей одному
266
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, §6
и тому же разбиению (Li) множества индексов строк и множества индексов столбцов (п° 4):
Каждая из матриц Xii есть квадратная матрица, имеющая Li своим множеством индексов строк и столбцов.
Если теперь все матрицы Xij с і Ф j нулевые, то рассматриваемая клеточная матрица называется диагональной. Квадратные матрицы, для которых указанная клеточная матрица (соответствующая заданному разбиению (Li)) диагональная, как вытекает из «поклеточ-ного» получения произведения двух матриц, образуют кольцо; легко
видеть, что это кольцо изоморфно произведению [^l JS(Ei) колец эндо-
морфизмов подмодулей Ei модуля Е, имеющих своими базисами семейства
III. Матрицы подстановок. Пусть л — произвольная подстановка множества индексов L; существует, и притом только один, эндоморфизм ип модуля E такой, что ип (ак) = = aJt(X) Для каждого AgL (§ 2, следствие 2 предложения 3). Каково бы ни было AgL, элемент матрицы M (ип), находящийся на пересечении столбца с индексом А и строки с индексом я (А), равен е, все же остальные элементы того же столбца равны нулю. Допуская вольность речи, матрицу M (ия) называют матрицей подстановки я. Очевидно, п! матриц, соответствующих всевозможным подстановкам множества L, обратимы; при этом, поскольку для любых двух подстановок я. Q множества L имеет место равенство иП0 = и„оид, матрицы M (ил) образуют мультипликативную группу, изоморфную симметрической группе lSn.
IV. Мономиальные матрицы. Каждая строка и каждый столбец матрицы подстановки содержат лишь один элемент ф 0. Квадратная матрица R, обладающая этим свойством, называется мономиальной. Пусть — единственный ненулевой элемент А-го столбца матрицы R и я (А) — индекс строки, на которой находится этот элемент; ясно, что я есть подстановка множества индексов L, a R — произведение матрицы M (Ujj) этой подстановки и диагональной матрицы с диагональю (Qjl).
