Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ли — 2 anxlx-
Х?/.
(2)
правого модуля A ^, и определенное так отображение очевидно ли-
вать линейные отображения A^ в AlsJ, которые нельзя получить
M (щ (а%), (6ц)) = (ацх,)(ц, x)?Mxl
и
M (v; (&ц), (Cv)) — (^vn)(v, H)?NxM-
Имеем
w (ак) = V (и (ax,)) = v ( J V*nx) = ^ v (iV)
ц?М li?M
Поэтому, если положить
M(w; (ах), (cv)) = (Yv*.)<v,WVxl, для каждой пары индексов (v, X) будем иметь
YvX — S PvHaHX-
(3)
нем
Определение 2. Пусть L, М, N — конечные множества индексов, А — кольцо и
X = (адх)(ц, X)?MXL> Y — (Pvn) (v, n)?iVxM
262
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. XI, § 6
— матрицы над А. Произведением YX матрицУ и X называется матрица Z=(yva)(v, aoewxz,, элементы которой задаются формулой (3).
Таким образом, при этом определении можпо написать, что M(и°н; (ах), (cv)) = Л/(и; (Iv), (cv))M(u\ (ах), (Ъц)) (4)
или, проще,
M (у о «) = M (v) M (и), (5)
если можно не опасаться недоразумения.
Замечание. Таким образом, произведение YX определено, лишь если множество индексов столбцов матрицы Y совпадает с мно-, жестеом индексов строк матрицы X; в частности, при L ф N произ-
ведение XY не имеет никакого смысла. В формуле (3) фигурируют элементы одной и той же строки матрицы У, умножепные справа на элементы одного и того же столбца матрицы X: говорят, что произведение Y на X получается путем «умножения строк на столбцы».
Каждое свойство, относящееся к сумме или композиции линейных отображений, посредством формул (1) и (5) переводится в соответствующее свойство, относящееся к сумме или произведению матриц. В частности, имеют место правила дистрибутивности и ассоциативности
X(Y + Z) = XY + XZ, (6)
(Y + Z)X = YX + ZX, (7)
X(YZ) = (XY)Z, (8)
справедливые всякий раз, когда фигурирующие в них операции имеют смысл.
Аналогичный перевод формулы (1) § 2, дающей композицию двух линейных отображений модулей, разложенных в прямые суммы, приводит к интересной формуле для вычисления произведения двух матриц.
Пусть (Li)1 <ч и (Mj)l<j<q—разбиения множеств ипдексов L и М, далее, Ei (соответственно Fj) — подмодуль модуля E (соответственно F), имеющий своим базисом (a))i^i,. (соответственно
(VVeM.)> гДе (соответственно I / < q); E—есть пря-
мая сумма подмодулей Ei и F — прямая сумма подмодулей Fj. Тем самым каждому линейному отображению и модуля EvF соответ-
МАТРИЦЫ
263
ствует (§ 2, п0 4) семейство (Uli) линейных отображений, где иц — отображение Ei в Fp определяемое тем условием, что Uji (х) для каждого х ? Ej есть компонента и (х) в Fy Из этого определения сразу видно, что если положить M (и)=-X и M (Uji)=Xji (относительно рассмотренных выше базисов в Е, F и Eil Fj), то матрица Xji будет не чем иным, как подматрицею матрицы X, получаемою путем вычеркивания строк с индексами |Д, ? СMj и столбцов с индексами % (j CLt; поэтому матрицу X можно представлять себе в виде «таблицы матриц», или клеточной матрицы из q «строк» и р «столбцов», соответствующих разбиению (Mj) множества индексов строк и (Li) множества индексов столбцов:
-З-n -3? • • • -3-ip X2I X22 • ¦ • X2р
Xqi Xq2 ¦ . . Xqp
Аналогично пусть (N k)[<k<-r—разбиение множества индексов N
И Gk— ПОДМОДУЛЬ МОДУЛЯ G, имеющий СВОИМ баЗИСОМ (Cv)v^jyft! ^ есть
прямая сумма подмодулей Gk. Матрица Y = M (и) любого линейного отображения и модуля FnG таким же образом может рассматриваться как клеточная матрица из г строк и q столбцов, образованная подматрицами («клетками») Yhi-M (vkj), где (vkj) — семейство линейных отображений, соответствующих отображению v и разбиениям (Mj) и (Nk). Если теперь рассмотреть матрицу Z = YX отображении w = v о и,т она представится в виде клеточной матрицы из г строк и р столбцов, образованной подматрицами Zki, соответствующими семейству (Wki) линейных отображений, определяемых отображением w и разбиениями (Li) и (Nk). Ho, согласно формуле (1) § 2, ч
(yIJiouJi)'- поэтому
J=I
Zki=^YkjXji. (9)
J=I
Иными словами, клеточная матрица (Zki) получается путем образования «произведения» клеточной матрицы (Ykj) на клеточную матрицу (Xji), как если бы они были обычным,и матрицами, имеющими соответственно Ykj и Xji своими элементами. Вычисление произведения YX, выполняемое таким способом, называется «ло-клеточнымь. Разумеется, чтобы эта операция была возможна, нужно, чтобы разбиение множества индексов столбцов матрицы У было тем же, что и разбиение множества индексов строк матрицы X.
Формулы (2), дающие компоненты и (х) относительно базиса ), допускают следующее истолкование с помощью понятия
264
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § в>
произведения матриц: каждый элемент х — 2 а>Лх модуля E опре-
X?L
деляет линейное отображение 1,-^-хЪ, модуля Ad в E (обозначенное в n° 1 § 2 через 0Х); этому отображению соответствует матрица из одного столбца M (Bjc) = (?,x)x?l (относительно базиса Ad, образованного единичным элементом е, и базиса (ах) модуля Е). Точно так же у = и (х) = 2 определяет линейное отображе-
ние Qlj модуля Ad в F, которому таким же образом соответствует матрица из одного столбца -Щв;,) = (%)ием; но и (xQ = и (х)1, иными словами, Qil-UoQx; перевод этого соотношения на язык матриц, в силу формулы (4), и приводит к формулам (2). Чаще всего, если можно не опасаться путаницы, элемент х?Е отождествляется с одностолбцовой матрицей M (Bjc) (образованной компонентами х относительно базиса (?)); при этом соглашении формулы (2) объединяются в одной формуле
