Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
а) J (х) есть минимальный элемент упорядоченного по включению множества ©у тех J (у) Cl, которые соответствуют элементам уФ 0 из V;
б) хотя бы одна из компонент I1 элемента х равна 1.
Предложение 3. Множество всех первичых элементов из V является системой образующих этого подпространства.
Пусть X = 2 IiaI — элемент из V; доказательство того, что х і
есть линейная комбинация первичных элементов, проведем индукцией по числу п элементов множества J (х). При п=0 наше утверждение очевидно; предположим, что п > 0. Среди всех ненулевых элементов z?V, для которых / (z) CZ J(x), выберем элемент у= = 2 IIlaH У которого J (у) содержит наименьшее число элемен-
L
тов; тогда J (у) минимально в ©у; согласно предложению 2, можно, в случае необходимости умножив предварительно у на надлежащий скаляр, считать,что существует (у), для которого т]и=1, так что у первичен. Пусть z=x—|иг/; z принадлежит V и J (z) содержит не более п—1 элементов; значит, г, а следовательно и х, есть линейная комбинация первичных элементов.
3. Первичные решении системы линейных уравнений
Рассмотрим сначала однородную линейную систему
2ія«и = 0 (іЄ /) (2)
я е/,
с коэффициентами OCjll ИЗ К. Всевозможные ее решения составленные из элементов тела К, образуют векторное подпространство V пространства E=K[l)-, первичные элементы этого
246
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 5
подпространства V относительно каноническою базиса пространства E будут называться первичными решениями системы (2). Пусть теперь дана неоднородная линейная система
= % (3)
т.
где коэффициенты ац и свободные члены Iil принадлежат К\ сопоставим ей однородную систему
Z^axl-STli = 0 (1?у) (4)
AS L
относительно неизвестных I и Ij.; будем, по определению, называть решение (Z,\) системы (3) первичным, если решение системы (4),
образованное элементами и E=I- есть первичное решение этой однородной системы.
Предложение 4. а) Подпространство « K(SL>, образованное всеми решениями системы однородных линейных уравнений (2), порождается множеством первичных решений этой системы.
б) Неоднородная линейная система (3), имеющая хотя бы одно решение, имеет хотя бы одно первичное решение.
Действительно, а) непосредственно вытекает из предложения 3. Применение а) к системе (4) показывает, что если (3) имеет хотя бы одно решение (Z1X)і то решение системы (4), образованное всеми и | = 1, является линейной комбинацией первичных решений этой системы; отсюда следует, что (4) обладает по крайней мере одним первичным решением, в котором I Ф 0; умножив это решение на |-1, мы и получим первичное решение системы (4), в котором 1 = 1.
Предложение 5. Если коэффициенты ац и свободные члены системы скалярных линейных уравнений
2 Ixaxi = Лі (3)
X?L
принадлежат подтелу K0 тела К, то первичные решения (?х) этой системы состоят из элементов этого подтела.
В силу определения первичных решений, достаточно провести доказательство для однородного случая (тк = 0 при всех і). Будем рассматривать К как правое векторное пространство над K0,
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
247
и пусть F — его подпространство, порожденное элементами Sx первичного решения системы (2); F содержит единицу тела К и конечномерно, а потому (§ 3, теорема 2) обладает базисом (ві)ог5»г?п относительно K0, в котором є0 = 1. Для каждого X?L
п
имеем Б* = 2 віСм. гДе Sx» принадлежат K0. Подставляя в (2), і=0
получаем
SеД2 Сиам) = О (Iel).
і X
•откуда следует, что 2Sxi«xi = 0 для всех І (0 ^ І ^ Zij И всех I х
Иными словами, (Sxi) для каждого значения і есть решение системы (2); тем самым это относится, в частности, и к (Sxo)- Так как Sxo равно нулю всякий раз, когда Sx равно нулю, a (Sx) есть первичное решение системы (2), то предложение 2 показывает тогда, что, для каждого К, Sxo = QSx» где Q^K. Кроме того, поскольку (Sx) — первичное решение, существует (J, б L, для которого SlX=Ii т. е. S(x=eo! по определению элементов Sxi, имеем тогда Sno = 1 и Sni = 0 при I < t< п\ отсюда следует, что Q = Ih потому Sx = Sxo Є K0 для всех К.
Замечание. Предложение 5 показывает апостериори, что понятие первичного решения системы линейных уравнений зависит лишь от тела, порожденного коэффициентами и свободными членами системы, но не от надтела, в котором рассматриваются все решения этой системы.
Предложения 4 и 5 показывают, что справедлива
Теорема 1. а) Подпространство в KfsL\ образованное всеми решениями системы однородных линейных уравнений (2), коэффициенты которой принадлежат подтелу K0 тела К, порождается множеством тех решений, которые состоят из элементов этого подтела.
б) Если какая-нибудь линейная система (3) с коэффициентами и свободными членами, принадлежащими K0, допускает решение, ,состоящее из элементов тела К, то она допускает решение, состоящее из элементов подтела Ka.
248
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. TI, § 5
4. Применение к пространству линейных соотношении между заданными элементами векторного
пространства
Пусть § = (di)i?i — заданное семейство элементов векторного1 пространства E над К. Напомним, что пространством линейных соотношений между элементами семейства р? мы назвали (§ 1, п° 8) подпространство V (%) прямой суммы КІ*\ образованное теми ее элементами (It)te/, для которых
