Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Первая часть предложения является частным случаем предложения 3. Для доказательства второй заметим, что подпространством в Е, ортогональным к V1 + W', является Vf)W; отождествляя E** с Е, заключаем из предложения 7, что V' + W' есть подпространство пространства E*, ортогональное к Vf\W.
6‘. Двойственность для произвольных векторных пространств
Пусть E — произвольное векторное пространство над телом К. Предложение 7 обобщается следующим образом:
Теорема 1. а) Пусть V — подпространство векторного пространства Е. Для того чтобы подпространство в Е*, ортогональное к V, имело конечную размерность р, необходимо и достаточно, чтобы V имело в E факторразмерностъ р.
б) Для того чтобы подпространство в E, ортогональное к заданному подпространству V' пространства E*, имело конечную факторразмерностъ р, необходимо и достаточно, чтобы V' имело размерность р.
в) Пусть $ — множество всех подпространств пространства Е, имеющих конечную факторразмерностъ, и — множество всех
230
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 4
конечномерных подпространств пространства E*; отображение, относящее каждому подпространству V ? fy ортогональное к нему подпространство V' ? , есть взаимно однозначное ото-
бражение Qf на обратное отображение относит каждому подпространству V ^ Qf' ортогональное к нему подпространство
а) Подпространство V' пространства E*, ортогональное к подпространству V пространства Е, изоморфно пространству, сопряженному к факторпространству Е/V (предложение 4); значит, если Е/V конечномерно, V' имеет размерность, равную размерности Е/V (предложение 6). С другой стороны, если V имеет конечную размерность р, то Е/V не может быть бесконечномерным, ибо V содержалось бы тогда в некотором подпространстве W факторразмерности р-\-1 и V' содержало бы подпространство W' пространства E*, ортогональное к W, имеющее размерность р + 1, что невозможно.
б) Пусть V' — р-мерное подпространство пространства Е*
11 его базис. Рассмотрим отображение х—> ((х, ai))i^«sp
пространства E в Kf; это —линейное отображение и ранга р'<^р. Подпространство F = Ii(O) есть не что иное, как подпространство пространства E, ортогональное к У'; в силу предложения 10 § 3, оно имеет факторразмерностъ р'<р- Согласно а), подпространство в E*, ортогональное к V, имеет размерность р'; так как оно содержит V, то они необходимо совпадают, и р'=р-
Обратно, предположим, что подпространство V пространства Е, ортогональное к V', имеет конечную факторразмерностъ р; тогда, согласно а), ортогональное к V подпространство V" в Е* имеет размерность р; так как оно содержит F', то V' конечномерно, и следовательно, факторразмерностъ V равна размерности V'.
в) При доказательстве утверждения б) мы уже видели, что если V' — подпространство в Е* размерности р и V — ортогональное к нему подпространство в Е, то V' совпадает с подпространством в E*, ортогональным к V. Точно так же, если V — подпространство в Е, имеющее факторразмерностъ р, то ортогональное к нему подпространство V' в Е* имеет размерность р, значит, подпространство V" в Е, ортогональное к V', имеет фак-торразмерность р; поскольку оно содержит V, они совпадают.
в
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
231
Тем самым два отображения, рассматриваемые в третьей части теоремы, действительно взаимно однозначны и обратны друг к другу.
Замечания. 1)В силу предложения 2, два взаимно обратные отображения, определенные в теореме 1, являются убывающими, когда и упорядочены по включению; поэтому они относят сумме (соответственно пересечению) двух подпространств пересечение (соответственно сумму) соответствующих им подпространств (обобщение предложения 8).
2) Первая часть теоремы 1 показывает, в частности, что если сопряженное Е* к векторному пространству E конечномерно, то это же верно и для Е: достаточно применить теорему 1 к случаю, когда F={0}.
Теорема 1 позволяет охарактеризовать гиперплоскости векторного пространства E:
Предложение 9. Для каждой гиперплоскости H векторного пространства E существует линейная форма х'0 на E такая, что
Н — х'й(0)] для того чтобы линейная форма х' ? Е* обладала тем -і
свойством, что H — х' (0), необходимо и достаточно ,чтобы х' = х'0а,
где а Ф 0. Обратно, для каждой линейной формы х Ф 0 на E -і
подпространство х' (0) есть гиперплоскость.
Справедливость этих утверждений сразу следует из теоремы 1, примененной к случаю р=1.
Если Н— гиперплоскость и ж' —любая линейная форма, -і
для которой H-X10(O), то отношение xj,(x) = 0, характеризующее элементы х?Н, называют уравнением гиперплоскости Н.
Более общим образом, если (xi) — семейство ненулевых линейных форм на E и V означает пересечение семейства гиперплоскостей х[ (0), то отношение «каково бы ни было і, х[ (ж) = 0» характеризует элементы х Є V; говорят, что отношения x't(x) = 0 образуют систему уравнений подпространства V.
В силу предложения 9 § 3 , каждое подпространство векторного пространства E может быть определено системой уравнений.
Пусть, в частности, V — подпространство конечной фактор-размерности р, так что ортогональное к нему подпространство V', по теореме 1, имеет размерность р\ если (a'i) — его базис,