Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
7
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
235
дифференцируемы на I; F есть векторное пространство над R, a E — его подпространство; функция b(x)=(bi(x)) есть элемент пространстваF; наконец, если для каждой функции у = {уі)?Е положить
то у—> и (у) будет линейным отображением E в F. А тогда разрешение дифференциальной системы (10) равносильно разрешению линейного уравнения и(у) — Ь.0
Замечание. Допуская вольность речи, задачу, равносильную разрешению линейного уравнения, часто называют линейной задачей.
Если и (х) = у0 — заданное линейное уравнение, то уравнение и (х) =O называют однородным линейным уравнением, ассоциированным с и(х) = у0 (и говорят также, что оно получается путем отбрасывания в уравнении и(х) = у0 свободного члена). Аналогично систему (х, х[) = 0 (і ? I) называют однородной системой, ассоциированной с системой (7).
Предложение 11. Если х0 —решение линейного уравнения и(х) = у0, то множество всех решений этого уравнения совпадает с множеством элементов х0-\-хг, где X1 пробегает множество всех решений однородного уравнения, ассоциированного с и(х) = у0.
Действительно, соотношение и (х) = у0 записывается в виде а(х) = м(х0), т. е. и(х — х0) = 0.
Иными словами, если уравнение и (х) = у0 имеет хотя бы одно
решение х0, то множеством всех решений этого уравнения слу--1 -1 жит х0-}-и (0). Заметим, что и (0) является подмодулем модуля E
и, значит, не пусто, ибо во всяком случае содержит 0 (называемый
нулевым или тривиальным решением однородного уравнения
В силу предложения 11, для того чтобы линейное уравнение и (х) = у0 имело не более одного решения, необходимо и достаточно,
чтобы и (0) = {0} (иными словами, чтобы ассоциированное однородное уравнение не имело нетривиальных решений); в этом случае линейное уравнение и(х) = у имеет не более одного решения при каждом y?F (или, что то же, и есть изоморфизм E в F).
«(ж) = 0).
236 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. Il §4
8. Линейные уравнения ни векторном пространстве
Мы ограничимся в дальнейшем изучением скалярных линейных систем (7), где E — векторное пространство над телом К (коммутативным или нет).
Определение 4. Система скалярных линейных уравнений
(х, ZO = TI1 (іЄ/), (7)
где неизвестная х принимает значения в векторном пространстве Е, называется системой конечного ранга, если подпространство сопряженного пространства E*, порожденное семейством (х[), конечномерно; его размерность называется рангом системы (7).
Система (7), не являющаяся системой конечного ранга, называется системой бесконечного ранга.
Предложение 12. Для того чтобы система скалярных линейных уравнений (7), где неизвестная х принимает значения из векторного пространства E над телом К, имела конечный ранг г, необходимо и достаточно, чтобы линейное отображение х—> ((х, х[)) пространства E в K1s было отображением ранга г.
Обозначим линейное отображение х—> ((х, х[)) через и и подпространство сопряженного пространства E*, порожденное семейством (х[), — через V'. Подпространство V пространства Е, ортого-
-1
нальное к V, есть не что иное, как и (0); если V' г-мерно, то V имеет в j? факторразмерность г, и обратно (теорема 1,6)), а отсюда, в силу предложения 10 § 3, и следует справедливость утверждения. Теорема 2. Пусть
(х, ^D = TJ1 (і 61) (7)
— система скалярных линейных уравнений на векторном пространстве E относительно тела К, имеющая конечный ранг г. Для того чтобы эта система имела по крайней мере одно решение, необходимо и достаточно, чтобы равенство 2 = 0 (где
і
(Qt) - семейство скаляров, отличных от нуля лишь для конечного числа индексов) всегда влекло равенство 2 1ItQi = 0- Если хй —
S двойственность 237
какое-нибудь решение этой системы, то множество всех решений имеет вид X0+ V, где V — подпространство факторразмерности г пространства Е.
Необходимость сформулированного условия существования решения системы (7) очевидна. Докажем, что оно достаточно. ¦Среди форм х[ существует г форм x[h (1< &<г), образующих базис подпространства V' в E*, порожденного всеми х[ (§ 3, теорема 2). Таким образом, для каждого индекса і, отличного
Г
от всех индексов Iu, имеем #[=2 xIhQk и в силу условия, верно
fe=l *
г
также Til= 2 1IibPfe. і! следовательно, множество всех решений
h=l *
системы (7) совпадает с множеством всех решений частичной системы
(х, x'lh) = t]lh (1 <&</•). (11)
Ho, согласно предложению 12, линейное отображение х—> ((х, ^lk)) пространства E в Kr (обозначенное нами через и) есть отображение ранга г, иначе говоря, отображение на Kr; это показывает, что система (11) обладает по крайней мере одним решением
согласно предложению И, множеством всех решений служит -і
^0 + V, где V=U (0), причем V имеет факторразмерность г.
Всякая система (7), состоящая из конечного числа т уравнений, имеет конечный ранг г, причем г< т; точно так же, если E — пространство конечной размерности п (что соответствует случаю системы (8), содержащей лишь п неизвестных), то его сопряженное Е* «-мерно, а значит, г< п.
В частности:
