Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 109

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 201 >> Следующая


Точно так же X' ж X эквивалентны, если X' получается из X путем умножении г-й строки матрицы X слева на обратимый элемент X ? А: тогда Х'=РХ, где P — матрица автоморфизма if модуля F> определяемого условиями ,ф(Ьі)=6іЯ и "ф {bh)= bh для всех h ф і.

Предложение 9. Для того чтобы две матрицы из т строк и п столбцов над телом К были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый ранг.

Согласно первому из приведенных выше истолкований эквивалентности, условие необходимо, поскольку ранг линейного»

18fc
276

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II, § 6

отображения равен рангу матрицы этого отображения относительно любых базисов.

Для установления достаточности условия покажем, что каждая матрица X ранга г эквивалентна матрице

(где в правой части стоит клеточная матрица, соответствующая разбиению [1, т\ на [1, г] и [г+1, т] и разбиению [1, їі\ на [1, г] и [r+1, п]), называемой канонической матрицей ранга г из т строк и п столбцов над К.

Предположим для этого, что X есть матрица линейного отображения и модуля E в F относительно базисов (at) и (bj), и покажем, что в EnF существуют базисы (аг) и (bj), относительно которых и имеет матрицу U. Так как и — ранга г, то Н=и (0) — размерности п—г; пусть G — подмодуль в Е, дополнительный к Н; тогда существует базис (at) модуля E такой, что (яч)ібудет базисом в Gi (йі)г-и^і^п — базисом в Н. В таком случае векторы U(Uj) (1<,< г) образуют базис в и (E); значит в F существует базис такой, что Ь]=и(а}) (I </<г) (§ 3, теорема 2). Очевидно, базисы (at), (bj) удовлетворяют поставленному требованию.

В случае, когда А=(а{;) — явно заданная матрица из т. строк и п столбцов над телом К, можно, как мы это увидим, явно определить обратимые квадратные матрицы PnQ, для которых PAQ=U, где U — каноническая матрица (25). Можно ограничиться случаем, когда г= q (А) > 0, нбо иначе А — нулевая матрица и нечего доказывать. Умножая А слева и справа на матрицы надлежащих подстановок, можно всегда свести дело к случаю, когда O11 0, а умножая слева

первую строку на Ojl1, — к случаю, когда O11=I; вычтя тогда первую строку, умноженную каждый раз на надлежащий скаляр, из каждой другой, мы обратим все члены первого столбца, кроме O11, в 0; другими словами, существуют обратимая квадратная матрица P1 и матрица подстановки R1 такие, что

(25)
11

МАТРИЦЫ

277

где JB = (Pir) есть матрица из т — 1 строк и п — 1 столбцов (2 і т,

2 <; / <; п). Если В — ненулевая матрица, то, умножая ее слева

и справа на матрицы надлежащих подстановок, можно добиться, чтобы р22 =р 0. Поступая так последовательно с первыми г столбцами, убедимся в существовании обратимой квадратной матрицы P и матрицы подстановки Pi (ясно задаваемых указанными операциями), для которых

Иь гн-1 • ¦ • !iInX

PAR =| ’ ............I. (26)

MjT, 7V1 • • • ^rn J

о о /

Наконец, вычтя из каждого из п - г последних столбцов этой матрицы надлежащие кратные первых г столбцов, что сводится к умножению справа на (явно определяемую) обратимую квадратную матрицу S, придем к канонической матрице U.

В тоді частном случае, когда А есть обратимая квадратная матрица, в качестве R можно взять единичную матрицу; согласно формуле (26), тогда матрица Р, определенная описанным способом, будет просто матрицей, обратной к А (см. § 3, п° 2, замечание 1 после следствия 3 теоремы 3, а также § 6, упражнение 9а).

Операции, приведшие к матрице (26), позволяют также явно определить решения линейного уравнения Ах=Ъ с явно заданным вектором Ъ. Действительно, это уравнение может быть записано в виде PAR(R^x)=Pb; поскольку R — матрица подстановки, компоненты вектора y=R~1x, с точностью до порядка, те же, что у х. Теперь, дли того, чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы т — г последних компонент вектора Pb были нулями; если это выполнено, то из соотношения PARy=Pb сразу получаются первые г компонент вектора у в виде явных функций последних п — г, остающихся произвольными.

Этот метод явного разрешения линейных уравнений известен под названием метода последовательных подстановок; он действительно сводится к выражению первой компоненты вектора у через остальные с помощью первого уравненпя, затем подстановке этого выражения в остальные уравнения и применению к этим последним той же процедуры до тех пор, пока мы не придем к системе, матрица которой имеет вид (26).

11. Подобные квадратные матрицы

Определение 7. Квадратные матрицы п-го порядка X, X' над кольцом А с единицей называются подобными, если существует обратимая квадратная матрица п-го порядка P такая, что

Х'^РХР-1. (27)
278

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. II, § 6

При этом определении следствие 1 предложения 8 можно выразить, сказав, что прп переходе в унитарном 4-модуле E (имеющем конечный базис) к новому базису матрица эндоморфизма и модуля E относительно нового базиса подобна матрице и относительно старого базиса.

Другое истолкование состоит в рассмотрении эндоморфизмов

и, и' и автоморфизмафмодуля Е, имеющих X, X' и P своими матрицами относительно некоторого фиксированного базиса в Е; соотношение (27) равносильно тогда соотношению ц^фоцоф^1.
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed