Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
в) Если E конечномерно, то для каждого сдвига и существует такой базис пространства Е, что в матрице и относительно этого базиса все диагональные элементы равны 1 и по крайней мере еще один элемент =/=0.
г) Показать, что централизатор (гл. I, § 6, упражнение 13) группы 0 (Е, Н) в группе GL (E) автоморфизмов пространства E есть композиция Z (E) 0 (Е, Н) = ®(Е, Н) Z (E) группы 0(?’, Н) и центра Z (E) группы GL (E) (§ 2, следствие 2 предложения 5). Единственными автоморфизмами, принадлежащими этому централизатору и оставляющими инвариантным по крайней мере один ненулевой элемент из Е, являются сдвиги из 0 (E, Н).
д) Показать, что нормализатор (гл. I, § 6, упражненпе 13) группы 0 (Е, Н) в GL (E) есть подгруппа GL (E), образованная всеми автоморфизмами, оставляющими H инвариантным.
*8) Пусть /'(E1)-HopManbHaH подгруппа группы GL (E), образованная теми автоморфизмами и, для которых множество всех элементов из Е, инвариантных относительно и, имеет конечную фактор-
МАТРИЦЫ
281
размерность (если E конечномерно, то F (E)--GL (E)). Пусть, далее, C(E) — нормальная подгруппа группы GL (E), порожденная всеми сдвигами; она содержится в F(E).
а) Показать, что если E — размерности > 1, то для каждой пары ненулевых векторов х, у из E существует сдвиг или произведение двух сдвигов, переводящее X в у (иными словами, группа С (E) транзитивно действует в дополнении к {0} в Е).
б) Пусть V и W — гиперплоскости, X0=Xo-T-V — класс mod V,
отличный от V, и yts=y0-irW — класс mod W, отличный от W. Показать, что если E — размерности > 1, то существует сдвиг или произведение двух сдвигов, преобразующее V в W и ж0 в у0. [Рассмотреть сначала случай различных V и W.]
в) Показать, что если E — размерности > 1, то любые два сдвига, отличные от тождественного отображения, являются сопряженными элементами (гл. I, § 7, п° 5) группы F(E).
г) Показать, что если E — размерности > 2, то любые два сдвига, отличные от тождественного отображения, являются сопряженными элементами группы С (E). [С помощью б) свести к случаю, когда гиперплоскости обоих сдвигов совпадают, и затем использовать а).]
д) Если E двумерно, то для того, чтобы любые два сдвига были сопряженными элементами группы С (E), необходимо и достаточно, чтобы подгруппа Q группы К*, порожденная квадратами всевозможных элементов из К*, совпадала с К*. [Показать, что если и — сдвиг, а а — элемент из Е, не инвариантный относительно и, и 6= и (а) — а, то для каждого сдвига и', сопряженного к и в С (E), имеет место равенство и' (а) — а = аХ-\- Ьц, где ц ? Q или ц = 0; воспользоваться для этого тем, что во всякой мультипликативной группе элементы сфсГ’Р и сф2а являются произведениями двух квадратов. Чтобы убедиться в том, что сформулированное условие влечет сопряженность в С (E) каждого сдвига v со сдвигом и, свести рассмотрение к случаю, когда V (а) = аХ-'г 6.]
е) Если E — размерности > 1, то для того, чтобы растяжения и и и' были сопряженными относительно группы С (E) (т. е. чтобы существовал автоморфизм и ?С (E), для которого u' =vuv~l), необходимо и достаточно, чтобы классы (упражнение 7) этих растяжений совпадали. [Использовать б).] Вывести отсюда, что если класс некоторого растяжения содержится в коммутанте (гл. I, § 6, п° 8) группы К* то это { аетяжение принадлежит группе С (E). [Воспользоваться тем, что vuv~1u~1=v (uv lu~x).}
*9) а) Показать, что каждый автоморфизм и, принадлежащий F (E), есть произведение автоморфизма, принадлежащего С (E), и, возможно, растяжения, гиперплоскостью инвариантных элементов которого служит фиксированная гиперплоскость H0. [Провести индукцию по факторразмерности подпространства элементов, инвариантных относительно и, используя 8а и 8е.]
282
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Л. II, § 7
б) Показать, что C(E) содержит коммутант группыF(E) и, за исключением того случая, когда K=Z/(2) и dimЕ=2, совпадает с пим. [При доказательстве того, что С (E) содержит коммутант группы F(E), использовать а) и упражнение8е; для установления того, что C(E), кроме указанного исключительного случая, содержится в этом коммутанте, показать; используя упражнения 76 и 8в, что при всяком представлении F (E) в коммутативную группу образом каждого сдвига служит нейтральный элемент.]
*10) Показать, что если E —размерности >2, то каждая нормальная подгруппа группы GL(B), не содержащаяся в центре Z(E), содержит коммутант С (E) группы/- (E), и что каждая нормальная подгруппа группы С (E), не содержащаяся в Z (E), совпадает с С (E). [Показать, что если Г — нормальная подгруппа группы GL (E) и и — автоморфизм, принадлежащий Г и не принадлежащий Z (E), то существует сдвиг V такой, что w=v~1u~lvu оставляет инвариантной некоторую гиперплоскость H и не принадлежит Z (E); для этого воспользоваться упражнением 7г и показать с помощью упражнения 76, что w (х) — х для каждого х ? E принадлежит фиксированному двумерному подпространству. Доказать, далее, с помощью 7г, что либо w есть сдвиг, либо существует сдвиг t, оставляющий инвариантным каждый элемент из Я и такой, что Iwr1W1 не принадлежит Z (E). В заключение использовать 8в; аналогичное рассуждение для нормальных подгрупп группы С (E) с использованием 8г.]
