Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
»2 = ан + P (а6-4, PЄ Л); ( II)
АЛГЕБРЫ
291
чхловия ассоциативности выполнены, каковы бы ни были а и (І, гак что последние могут быть выбраны произвольно.
Исследуем строение алгебры Е, когда А есть поле характеристики ф2 (гл. I, § 8, п° 8). Замечая, что
(а 4- Ъи)2 = (ab + 2a) (a + Ьи) + |}&2 — aab— а1,
п полагая и этой формуле Ь — I, а — - -2-, видим, что можно принять за новый базис в E множество, образованное элементами І иі) = «-у, где i/,2 = Y6^- Возможны три случая:
Iе у не является в А квадратом. Тогда E есть поле; действительно, если а-г-ЬифО, то, в силу предположения, (а+би) X
X (я - bv) = а-- уЬ2 Ф (), и значит, v есть эле-
мент, обратный а-\-Ьи.
°Ес:ш А — поле вещественных чисел, то —1 не является в А квадратом; элементами квадратичного расширения /•’, соответствующего Y— 1,'будут тогда комплексные числа (см. гл. Y и Общ. топ., гл. VIIIJlj
2° у есть квадрат ;х2 ф 0. Рассмотрим тогда в E новый базис, образованный элементами ev = ^ . е2 = _т( ^ —(і tO ’
имеем е^ — C1, е; = е2, C1C2 = ^e1 =0; таким образом, E есть прямая композиция. двух полей Ael, Ае„, изоморфных А.
3° Y = O. Множество a = A v есть тогда идеал в E такой, что по = {0}, и факторалгебра Eja изоморфна полю А.
“Если А—поле R вещественных чисел, элементы алгебры E над R, имеющей базис (1, и), в котором и2 = 0, называют дуальными числами. 0
Элемент х — а—bv называется сопряженным к элементу j:=a+ bv алгебры E; непосредственная проверка показывает, что отображение х—>хесть инволютивный (т. е, совпадающий со своим обратным) автоморфизм алгебры Е. Имеем х-\-х=2а?А и XX = а2 — Ь2? А \ произведение хх называется нормой х и обозначается N (х). Имеем
N (Xy)=N (x)N (у). (12)
ибо N (ху) = ху-ху = xxijy.
О*
292
ЛИНЕЙНАЯ АЛ ГЕ В PA
гл. її, § 7
¦V. Примеры алгебр: ZZZ. Кватернионы
Пусть /4 — коммутативное кольцо с единицей и E — алгебра над А, имеющая базис, образованный четырьмя элементами, первым из которых служит единица алгебры E, отождествляемая с единицей 1 кольца А, а остальные три элемента и, v, w перемножаются согласно таблице
и2 = а, у2 = Р, W2
UV= -VU = W,
идо = — = — Pm,
Wu = —- ми!) = — аи,
где а и P— элементы из Л, для которых ар =#=0. Без труда проверяется, что эта таблица умножения удовлетворяет условиям ассоциативности. Определенная так алгебра E, некоммутативная, если характеристика А не равна 2, называется алгеброй кватернионов над А, соответствующей паре (а, Р) элементов из А, а ее базис (1, и, v, w) — каноническим базисом этой алгебры.
Таблица умножения базиса, образованного элементами 1, и' = = Xu, vr = \iv, Wr = XyLW, где X и Jj, — обратимые элементы из А, получается из (13) заменой а на Х2а и р на jx2p. Тем самым алгебры кватернионов над А, соответствующие парам (а,Р) и (Х2а, jx2P), изоморфны. Если а обратимо, то элементы 1, иг = и, vr = w, Wr= av также образуют базис алгебры Е; таблица умножения этого нового базиса оказывается совпадающей с таблицей умножения алгебры кватернионов, соответствующей паре (а, — оф), так что .эта алгебра изоморфна алгебре, соответствующей паре (а, Р); наконец, ясно, что алгебры кватернионов, соответствующие парам (а, Р) и (Р,а), изоморфны.
Для каждого кватерниона х = а-\- bu-\-cv-j- dw будем обозначать через ? кватернион а — Ьи — си — dw; он называется кватернионом, сопряженным к х; х—>х есть взаимно однозначное линейное отображение E на себя; при этом uv = w= — W= vu, и так же проверяется,что vw = wv, wu = uw; таким образом, х—>х есть изоморфизм алгебры E на противоположную алгебру E0 (и также изоморфизм E0 на E); его называют антиавтоморфизмом алгебры Е\
ар,
(13)
S
АЛГЕБРЫ
293
он совпадает с обратным к нему отображением. Далее, х -\-х =
— 2а?А и XX — xz — а2 — ab2 — |3с2 + офй2 ? А; произведение xz называют также нормой кватерниона х и обозначают N (х). Имеем
N (xy) = N(x)N (у), (14)
ибо N (ху) = хуху = ху (ух) = х(уу)х=(уу)(хх), поскольку уу ?А Рассмотрим, в частности, тот случай, когда А есть поле (характеристики Ф2), и исследуем, при каком условии алгебра кватернионов E над А (относительно элементов а, |3) сама есть (некоммутативное) тело. Для этого необходимо, чтобы хф 0 влекло N (х)фО, ибо, в силу (14), N (х)N (X^1)=N (1) = 1. Ho это условие также достаточно, ибо если оно удовлетворяется, то соотношения хх = хх = И(х)Ф 0 для каждого х Ф 0 из E показывают,
что х обладает н E обратным х 1 — -щх^ ¦
В случае, когда А — поле Q рациональных чисел, условие удовлетворяется, если взять а <'О и P < 0. 0To же верно и в том случае, когда А — поле R вещественных чисел; причем в этом случае все некоммутативные тела, полученные таким способом, изоморфны тепу, соответствующему паре (а, (3) с а=Р= — 1; говоря о теле кватернионов над R, всегда имеют в виду именно это последнее тело; его канонический базис обозначают (1, і, /, к), и то же обозначение принимается обычно для канонического базиса алгебры кватернионов над любым нолем, соответствующей паре (— 1, —1).0
Ясно, что когда один из элементов а, р, —ар является в поле А квадратом, то Л' (х) может быть =0 и прпхфО. 0B частности, мы видим, что алгебры кватернионов над полем (1 комплексных чисел (которые все изоморфны) не являются телами (см. упражнение 4).ь
