Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если алгебра E допускает базис (а*,), то ее представление f в алгебру F полностью определяется элементами /(а*,) (§ 2, следствие 2 предложения 3); обратно, задание этих элементов определяет линейное отображение / 4-модуля E в А -модуль F; для того чтобы f было представлением алгебры E в алгебру F, необходимо и достаточно, чтобы, согласно формулам (6) и (7), /(ai)/(fln) = 2Yx(iv/K) для любой пары индек-
V
сов (X, ц).
В случае, когда E обладает единичным элементом е, причем этот элемент свободный (что всегда имеет место для алгебр над полем), отображение а —>ае есть изоморфизм фкольца А (рассматриваемого как алгебра относительно самого себя) в алгебру E; поскольку ах = (ае) х = х (ае), ф (Л) есть подкольцо центра алгебры Е, и структура алгебры относительно А по сути ничем не отличается от структуры алгебры относительно ф (А). Поэтому Л и ф(Л) обычно отождествляют, рассматривая тем самым А как подалгебру алгебры Е, содержащуюся в центре этой алгебры и имеющую тот же единичный элемент, что и Е. Заметим, что в этом случае каждый идеал кольца (без операторов) E есть также идеал алгебры E (напротив, подкольцо кольца без операторов E не обязательно является подалгеброй алгебры Е).
Вообще, в случае, когда E обладает единицей е, ее аннулятор a (§ I, п° 9) есть также аннулятор Е; образ А при представлении a -* ае есть подалгебра алгебры Е, изоморфная А/а. Структура точного модуля (относительно А/а), ассоциированного (§ 1, п° 9) со структурой -4-модуля в Е, вместе с умножением определяет в E структуру алгебры относительно кольца А/а, в которой е является свободным элементом;
АЛГЕБРЫ
280
мы будем и эту структуру алгебры называть ассоциированной с заданной в E структурой алгебры относительно А.
Замечание. Как уже указывалось (гл. I, § 8), при рассмотрении в множестве E нескольких структур кольца с операторами (и, в частности, нескольких структур алгебры), в основе которых лежит ( одна и та же структура кольца (без операторов), следует тщательно различать понятия подалгебры, идеала, представления и т. д. относительно этих различных структур. В частности, рассмотрим в кольце E структуры алгебры относительно двух различных подколец А, В его центра, и пусть а — элемент из А, не принадлежащий В; если / — представление Е, рассматриваемого как алгебра над А, то / (ах) == = af (х) — / (а) / (х) для всех х ? Е; напротив, если g—представление Е, рассматриваемого как алгебра Haflj В, то g(ax) — g(a)g(x), но, вообще говоря, g (ах) ф ag (х).
¦">. Произведения и прямые суммы алгебр
Пусть (E1) — семейство алгебр над одним и тем же кольцом А; очевидно, кольцо с операторами E — []?; (гл. I, § 8, п° 10)
I
тоже есть алгебра над А; она называется произведением алгебр E1. Каждое свойство произведений колец с операторами относится, в частности, к произведениям алгебр.
В случае, когда семейство (E1) конечно, компоненты Е[ модуля Е, отождествляемые соответственно с E1 (§ 1, п° 4), являются подалгебрами алгебры E и E есть прямая композиция (гл. I. § 8, п° 11) этих подалгебр. Ho если, обратно, F есть алгебра над А и (F1) — конечное семейство ее подалгебр таких, что А-модулъ F есть прямая сумма (§ 1, п° 7) подмодулей F1 (что, допуская вольность речи, выражают, говоря, что алгебра F есть прямая сумма подсиггебр F1), то, вообще говоря, отсюда еще никоим образом не следует, что F есть прямая композиция подалгебр F1 (или, ЧТО TO же, изоморфно произведению как известно
I
(гл. I, § 8, предложение 7), для того чтобы F было прямой композицией F1, необходимо и достаточно, чтобы /VijV = {0} для всех пар различных индексов (X, [х). Если это условие не выполнено, то мультипликативный закон на F не определяется однозначно знанием мультипликативных законов на каждой и:і подалгебр F1; для его определения следует еще знать, как перемножаются элементы, принадлежащие двум различным F1.
19 II. Еурбакн
290
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. 11. § 7
6. Примеры алгебр: I. Кольца эндоморфизмов
Пусть E — унитарный правый модуль над кольцом А; как мы видели (§2, H3 5), множество X (E) всех эндоморфизмов модуля E наделено структурой кольца с операторами, имеющей своей областью операторов центр С кольца А; поскольку сложение и внешний закон этой структуры определяют в X (E) структуру унитарного С-модуля, мы видим, что X (E) есть алгебра относительно С, имеющая своим единичным элементом тождественное отображение E на себя.
Наиболее важен тот случай, когда E обладает конечным базисом из п элементов относительно А; тогда X (E) изоморфно кольцу Mh (А) квадратных матриц п-го порядка над А (§ 6, л° 5). Если А коммутативно, то Mn (Л) есть алгебра относительно А; канонический базис (Eii) этой алгебры (§ 6, п° 2) имеет таблицу умножения
EiiEhh = O, если / Ф Ii, T
j, (10)
EijEpl=Eih, каковы бы ни оыли i, j, к. у
П
Единичный элемент In алгебры Mfl (А) равен 2 Eli; кольцо .4
г=1
отождествимо с подкольцом матриц aIn (аЄ А).
7. Примеры алгебр: II. Квадратичные расширении кольца
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Его квадратичным расширением называется алгебра E относительно А, имеющая базис, состоящий из двух элементов, один из которых служит ее единицей; таким образом, при отождествлении единицы алгебры E с единицей кольца А, которую мы будем обозначать I, А отождествляется с подкольцом кольца Е. Если и — второй элемент рассматриваемого базиса, то каждый элемент из E однозначным образом записывается в виде а-\-Ьи, где А и А. Поскольку, по предположению, 1 -и = и-1 = и, E коммутативно, и таблица умножения базиса (1,и) полностью определяется заданием ц2, т. е. определяющего его соотношения
