Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 120

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 201 >> Следующая


v Примеры. 1) Если а — автоморфизм кольца А, то отображение, относящее каждому элементу (?{) модуля А” элемент (??), есть нолулинейиое относительно а отображение А" на себя.

2) Если кольцо А некоммутативно, то, как мы видели, при a не принадлежащем центру кольца А, гомотетия х —> ах, вообще говоря, не является линейным отображением Л-модуля E в себя (§ 1, 11° 1 и § 2, п° 5); но если а обратимо, то эта гомотетия есть полулинейное отображение относительно внутреннего автоморфизма % —> CtgcT1 кольца А, ибо а(Хх) = (аХа~г)(ах).

Пусть Е, I- . С — модули относительно изоморфных колец А, В, С и и — полулинейное отображение EbF относительно изоморфизма а кольца А
304 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

на В, а и — полулинейное отображение FbG относительно изоморфизма г кольца В на С; тогда композиция v о «является полулинейным отображением EbG относительно изоморфизма т о а кольца А на С.

2, Линейное отображение, ассоциированное с полулинейным

Пусть и — полулинейное отображение Л-модуля E в В-модуль F относительно изоморфизма о> кольца А на В. Если и есть взаимно однозначное отображение E на F, то оно образует, вместе с изоморфизмом а, биизомор-фиам E на F (гл. I, § 4, n° 1); допуская вольность речи, говорят, что и само есть биизоморфизм E на F относительно о.

В F можно определить структуру А-модуля, оставив прежний закон аддитивной группы и положив Xy = Xaу для каждого X ? А и каждого у € F (выполнение аксиом модуля очевидно); обозначим полученный так Л-модуль через Fa. Тождественное отображение (р множества F на себя есть бииаомор-фиам (относительно а) А -модуля Fa на В-модуль F; ясно, что образ каждого подмодуля M модуля Fa при отображении гр есть подмодуль в F, и обратно; кроме того, при факторизации (р порождает биизоморфизм фактормодуля F0IM на фактормодуль F/M.

Пусть теперь и — произвольное полулинейное отображение EbF; оно однозначным образом представляется в виде и=фо v, где и—линейное отображение А -модуля E в Л-модуль F0. и называется линейным отображением, ассоциированным с полулинейным отображением и. Благодаря этому разложению каждому свойству линейных отображений отвечает свойство полулинейных отображений (относительно одного и того же изоморфизма о>), полученное путем применения рассматриваемого свойства к ассоциированным с ними линейным отображениям; мы предоставляем читателю сформулировать большую часть получающихся так предложений.

3. Ранг полулинейного отображения

Пусть К и К' — изоморфные тела и а — изоморфизм К на К'. Ранг полулинейного относительно а отображения м векторного пространства E над К в векторное пространство F над К' есть, по определению, размерность подпространства и (E) пространства F (если эта размерность конечна; в противном случае говорят, что и — бесконечного ранга). Очевидно, этот ранг равен рангу линейного отображения v, ассоциированного с и (п° 2), ибо каждый базис подпространства V пространства F0 относительно К есть также базис ?(17) относительно К'.

4. Сопряженное к полулинейному отображению

Пусть А и В — изоморфные кольца, E — левый Л-модуль, F — левый В-модуль, и—полулинейное отображение EbF относительно изоморфизма о кольца А на. В и а-1—изоморфизм В на А, обратный к а. Для каждого y' ? F*
,5

ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ II. ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 305

отображение х —> {и (х), у')а есть линейная форма на Е\ обозначив ее 1и(у'), мы определим отображение tU модуля F* в E*, называемое по-прежнему отображением, сопряженным к и; таким образом, tU определяется тождеством относительно X ? E и у' Є F*

(“ (ж), у') = {х, tU (у'))°. (1)

Без труда проверяется, что tU есть полулинейное отображение F* в Е* относительно изоморфизма О'1. Если v — линейное отображение E в Faj ассоциированное с и, и ф — тождественное отображение Fa па F, так что ц = ф о V (п° 2), то, как легко видеть, tU = tV о и *<р есть биизоморфизм F* на (F0)* относительно изоморфизма C1; это соотношение позволяет сразу распространить на сопряженные полулинейные отображения все установленные в § 4 свойства сопряженных линейных отображений.

5. Матрица полулинейного отображения

Пусть А и В — изоморфные кольца с единицей и а — изоморфизм А на В. Для каждой матрицы X = (Iwi) над А обозначим через Xа матрицу (5"ц) над В\ очевидно (X-4-У)0 = Xa+ Ya, (XZf=XaZa, (аХ)а = ааХа,

(Xa)0=X0Ot0 (в предположении, что рассматриваемые операции имеют смысл).

Пусть E — унитарный правый Л-модуль с конечным базисом (я F — унитарный правый В-модуль с копечным базисом (Ь^)^м им — полулинейное отображение EbF относительно изоморфизма а; коэффициенты

разложений и (a.) = V вполне определяются заданием и, и, обрат-

[IfM

но, их задание определяет элементы и(а^), а следовательно, и и (§ 2, следствие 2 предложения 3); матрица (a^. ),^ yjcxixtс элементами из В называется матрицей отображения и относительно базисов (a,^) и (Ь^) и по-прежнему обозначается M (и; (a^), (Ъ^)) или просто М(и).

Пусть С — кольцо, изоморфное А и В, г — изоморфизм В С, G — унитарный правый С-модуль с конечным базисом (cv)vcv и — полулинейное отображение FbG относительно изоморфизма т. Если U — матрица отображения и относительно базисов (a^) и (у и F — матрица отображения V относительно базисов (bjL) и (cv), то матрица отображения v°u относительно базисов (а?) и (cv) равна VUx.
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed