Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
9 H. Бурбаки
130
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
гл. I, § 7
Таким образом, сказать, что группа преобразований Г примитивна, все равно, что сказать, что А является максимальным элементом множества всех подгрупп группы Г, отличных от Г.
Предложение 5. Для того чтобы транзитивная группа Г подстановок множества E была импримитивной, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество A CZ Е, содержащее более одного элемента, отличное от E и такое, что, какова бы ни была подстановка о ? Г, либо a (A) CZ А, либо А[^а(А) = 0.
Покажем сначала, что это условие необходимо. Действительно, если, в прёжних обозначениях, существует подгруппа 0, отличная от А и Г л такая, что А Cl 0 Cl Г, то она определяет в E отношение эквивалентности R, согласующееся со структурой однородного пространства в Е, и классы эквивалентности по R содержат более одного элемента и отличны от Е\ для каждого из этих классов А также о (А), где о — любая подстановка из Г, есть класс по R, и справедливость утверждения следует из того, что эти классы образуют разбиение множества Е.
Чтобы убедиться в достаточности условия, заметим сначала, что, как следует из него, если подстановка а ? Г удовлетворяет условию а (А) Cl А, то а (А) = А; действительно, тогда A d а'1 (А), значит, А\~\в~1(А) Ф 0, и следовательно, а'1 (Л) Cl А, так что А = C1(A) = G(A). Отсюда сразу следует (теорема 1), что множество 0 тех подстановок a g Г, для которых а (А) Cl А (или, что по предположению равносильно этому, для которых А[]а (А)ф 0), есть подгруппа группы Г. Эта подгруппа отлична от Г, ибо по условию Л Ф Е, а Г транзитивна; она отлична и от А, ибо А содержит по крайней мере один элемент b Ф а, и для подстановки такой, что х(а)=Ь, имеем т А и х (Л)Р]4 Ф 0 ,
т. е. т?0; следовательно, Г импримитивна.
Классы эквивалентности по отношению R, соответствующему подгруппе 0, называются классами импримитивности группы Г, соответствующими этой подгруппе; это элементы однородного пространства, получающегося в результате факторизации E по отношению R (и изоморфного Г/0).
Упражнения. 1) Показать, что число элементов конечной группы G, сопряженных (п° 5) с ее элементом а, равно индексу его нормализатора (§ 6, упражнение 13) и, следовательно, является делителем порядка группы G.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
131
*2) Число автоморфизмов конечной группы n-го порядка G
Iog П
не превосходит /Ilos2. [Показать, что G обладает системой образующих Ja1, а2, ..., ат} такой что щ не принадлежит подгруппе, порожденной элементами alt ..., (Z^1 (2 і ¦<. m); вывести отсюда, что 2m<n и что число автоморфизмов группы G не превосходит rem.j
3) Пусть Г — группа всех автоморфизмов, а Д — группа всех внутренних автоморфизмов группы G; показать, что Д — нормальная подгруппа группы Г. Для того чтобы автоморфизм а группы G был перестановочен со всеми ее внутренними автоморфизмами, необходимо и достаточно, чтобы ^r1CT (х) принадлежало центру группы G для всех х ? G; вывести отсюда, что если центр группы G сводится к одному нейтральному элементу, то это же верно и для централизатора (§ 6, упраженение 13) подгруппы Д в Г.
*4) а) Пусть G — простая некоммутативная группа, Г — группа всех ее автоморфизмов и Д — группа всех внутренних автоморфизмов группы G (изоморфная G). Показать, что, каков бы ни был автоморфизм s группы Г, s( Д)=~ Д. [Используя предыдущее упражнение 3 и предложение 7 § 6, заметить, что Д 's (А) не может сводиться к нейтральному элементу группы Г.]
б) Показать, что единственный автоморфизм группы Г, оставляющий инвариантным каждый элемент из Д, —тождественный. [Записать, что, каковы бы ни были a g Д и а ? Г, этот автоморфизм оставляет инвариантными а и стаа"1, и воспользоваться упражнением 3.]
в) Пусть s — автоморфизм группы Г, <р — изоморфизм х -» а, группы G на Д, о|> — обратный ему изоморфизм ист — автоморфизм ¦ф о so<p группы G; показать, что автоморфизм |-+ct-1s(|)<j группы Г — тождественный. [Использовать б), приняв во внимание, что s(ax) :- яа(д.) для всех х ? G.] Вывести отсюда, что каждый автоморфизм группы Г — внутренний.
*5) а) Пусть G — группа, 2 — группа ее автоморфизмов и Г — группа левых переносов группы G (изоморфная G). Показать, что в симметрической группе ©с пересечение 2П Г сводится к нейтральному элементу и 2Г=Г2. Вывести отсюда, что Q=TS есть подгруппа группы iSr,; ее называют голоморфом группы G. [Cm. § 6, упражнение 4.]
б) Показать, что Г — нормальная подгруппа группы Q и всякий автоморфизм группы Г имеет вид Y -»¦ сгуст"1, где а ? Е.
в) Группа Д всех правых переносов группы G есть нормальная подгруппа группы Q, а ГГ) Д является центром каждой из групп Г, Д.
г) Показать, что Q есть нормализатор (§ 6, упражнение 13) Г в <&q. [Пусть т —элемент нормализатора Гв ©д; положив TYx'T~1 = Ya (х>< доказать, что а(х)=г (хи), где M = IT1 (е); далее, показать, что a есть автоморфизм группы G, и использовать в).]
9*
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 7
д) Показать, что Д — централизатор (§ 6, упражнение 13) Г в Bq.
6) а) Пусть (E1) — разбиение множества ? и Г — множество всех подстановок ст этого множества таких, что a (E1) CT E1 для каждого индекса и Показать, что Г — подгруппа группы ©к; обозначая через T1 подгруппу группы Г, образованную теми подстановками а, для которых a (E1) = E1 и а(х)=х для всех х показать, что T1 изоморфна Be , а Г изоморфна произведению J j T1.
