Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*14) а) Пусть Г — группа подстановок множества Е, состоящего из то элементов; показать, что индекс (Г: Aa) ее подгруппы Aa, оставляющей инвариантным элемент а ? Е, равен числу элементов того класса интранзитивности группы Г, которому принадлежит а.
б) Пусть Vfe — число подстановок из Г, оставляющих инвариантными к элементов из E, п — порядок группы Гиг — число ее классов интранзитивности. Доказать формулу
т
"г=ЕЬ’ь- (2)
h=0
[Обозначая через р (ст) число элементов, инвариантных относительно подстановки а ? Г, вычислить двумя разными способами V р (а)
<т?Г
и применить а).]
в) Показать, что если число р (а)= к одно и то же для всех нетождественных подстановок из Г и порядок Aa больше 1 для каждого а, то к t < 2к. [Заметить, что т кп.] В том частном случае, когда к= 2, найти все возможные порядки подгрупп Aa, соответствующих классам интранзитивности группы Г; показать, что при г=3 порядок подгруппы Aa для элементов двух из трех классов интранзитивности не может быть > 2, если только п не равно ни 12, ни 24, ни 60.
15) Пусть E — множество, наделенное внешним законом композиции (а, х) —> ах, который имеет своей областью операторов группу G и ассоциативен (§ 5, п° 2) относительно ее группового закона. Показать, что множество А = еЕ, где є — пейтральный элемент группы G, устойчиво относительно рассматриваемого внешнего закона и что А является относительно индуцированного закона множеством, наделенным группой операторов G, в смысле п° 2. Каждый класс интранзитивности группы Г всех подстановок множества А, порожденных операторами из G, есть устойчивое подмножество этого множества, а структура, индуцированная в любом из этих классов, есть структура однородного пространства.
*16) а) Пусть G — группа, H — ее подгруппа иг — взаимно однозначное отображение множества GIH всех левых классов по H в G, относящее каждому X ? GHI элемент т (X) ?Х a G, так что X=г (X) Н. Определим на GIH внутренний закон композиции T , положив XT Yz=t (X) г (Y) Н. Показать, чтоХТН=Х для всех X и что каждый левый перенос закона T есть взаимно однозначное отображение G/H на себя. Если G' — подгруппа группы G, порожденная
J
КОЛЬЦА и'кольца с операторами
135
множеством всех элементов г (X), и Hr=HnlG1, то внутренний закон, определяемый аналогичным образом на G'IH' отображением г, определяет в этом множестве структуру, изоморфную определяемой в GIII законом T.
б) Для ассоциативности закона T необходимо и достаточно, чтобы H' была нормальной подгруппой группы G', причем в этом случае структура, определяемая законом T , изоморфна структуре факторгруппы G'/Н'. [Для установлении необходимости условия показать сначала с помощью упражнения 2а § 6, что если закон T ассоциативен, то он определяет в GIH структуру группы; обозначая через К наибольшую нормальную подгруппу группы G', содержащуюся в Я', показать далее, выписывая условие ассоциативности для T, что (г (ХТ У))-1 т (X) т (Y) б К для всех X, У; вывести отсюда, что отображение X -* г (X) К есть изоморфизм группы GIH (относительно закона Т) на факторгруппу G1IK', учтя, что Я' есть объединение классов по К, заключить, что H'=K.]
в) Обратно, пусть на множестве E задан всюду определенный внутренний закон T такой, что каждый левый перенос является взаимно однозначным отображением E на себя и существует е ? E такое, что х T е=х для всех х ?Е. Пусть, далее, Г — группа подстановок множества Е, порожденная всеми левыми переносами ух, и Д — подгруппа тех подстановок из Г, которые оставляют е инвариантным. Показать, что каждому левому классу X по Д соответствует однозначно определенный элемент X Є E такой, что ух ? X; если положить г (Х)=ух, то отображение х ух есть изоморфизм множества Е, наделенного законом Т, на множество Г/Д, наделенное законом (X, У)-» -г (Z) г (Y) Д.
§ 8. Кольца и кольца с операторами
1. Кольца
Определение 1. Структурой кольца (или кольцевой структурой) в множестве А называется алгебраическая структура, задаваемая двумя всюду определенными внутренними законами композиции, первый из которых есть закон коммутативной группы в А, а второй ассоциативен и двояко дистрибутивен относительно первого. Множество, наделенное кольцевой структурой, называют кольцом.
Чаще всего коммутативный групповой закон в кольце А записывают аддитивно, а второй внутренний закон композиции —
136
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, §
мультипликативно. Предположения, относящиеся к сложению в А, выражаются тогда тождествами
х-\- (y + z) = (ж-{- у) + z (ассоциативность), • (1)
х -(- у = у -г х (коммутативность), (2)
требованием существования нейтрального элемента, обозначаемого 0, так что тождественно
х-\-0 = х, (3)
и, наконец, требованием существования для каждого х элемента, противоположного х, обозначаемого — х, так что
ж + ( — ж) = 0. (4)
Предположения же, относящиеся к умножению, выражаются тождествами
x(yz) = (xy)z (ассоциативность), (о)
X [y + z) =xy + xz, I
__ 't (двоякая дистрибутивность). (6)
уу —}— z) X ух —р ZX J
