Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 5. Левым (соответственно правым) идеалом кольца А называют всякую подгруппу H аддитивной группы А, устойчивую относительно заданных на А внешних законов и такую, что zH CZ Я (соответственно Hz CZ Я) для всех z 0 А. Подмножество кольца А, являющееся в А одновременно и левым и правым идеалом, называется двухсторонним идеалом кольца А.
144
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
Таким образом, условия, которым должно подчиняться непустое множество// элементов кольца А, чтобы быть его левым (соответственно правым) идеалом, записываются так: Н-\-Н CZ H, — H CZ H, АН CZ H (соответственно НА CZ Н) и all Cl H для каждого заданного на А оператора а. Очевидно, каждый идеал кольца А является его под-кольцом, обратное же неверно. Идеалы кольца обычно обозначаются строчными готическими буквами.
Каждый левый идеал кольца А есть правый идеал противоположного кольца, и обратно. Если А коммутативно, три рода идеалов совпадают и говорят просто об идеалах кольца А.
Замечания. 1) Левый идеал кольца А есть не что иное, как подгруппа аддитивной группы А, устойчивая относительно внешних законов кольца А и левого внешнего закона, порождаемого задапным на А умножением.
2) Как и понятие подкольца, понятие идеала кольца с операторами А существенно зависит от заданных на А внешних законов; замечания, сделанные в п° 4 по поводу подколец, равным образом применимы и к идеалам. В частности, если в множестве А рассматривается несколько структур кольца с операторами, в основе которых лежит одна и та же кольцевая структура, идеалы относительно этих структур различают посредством указания, относительно каких внешних законов они устойчивы.
Теорема 1. Всякое отношение эквивалентности, согласующееся со структурой кольца А, имеет вид х — у ? а, где а — двусторонний идеал кольца А, и результат факторизации А по этому отношению есть кольцо.
Первое утверждение теоремы вытекает из сказанного ранее. С другой стороны, факторзакон заданного на А сложения по рассматриваемому отношению эквивалентности R есть закон коммутативной группы на AIR, а факторзаконы заданных на А внешних законов дистрибутивны относительно этого группового закона (§ 6, л° И); наконец, факторзакон по R заданного на А умножения есть ассоциативный закон на А IR (§ 4, п° 3), двояко дистрибутивный относительно факторзакона сложения (§ 5, n° 1), и легко видеть, что он удовлетворяет тождествам (7).
Отношение эквивалентности х — у ? а, определяемое в кольце А двусторонним идеалом а, часто записывают х = у (mod а) или х = у (а) и называют сравнением по модулю а. Таким обра-
G
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
145
зом, отношения х = у (а), х' =Xf' (а) влекут X + х' = у + у' (а),
— X s=— у (а), хх' = уу' (а) и ах = а у (а) для каждого оператора а (правила действий над сравнениями).
( Отметим, что, напротив, отношение ху ~ xz (а) не обязательно
влечет у z (а), ибо класс mod а элемента х, даже если этот элемент регулярен относительно заданного на А умножения, не обязательно регулярен относительно факторзакона (см. ниже пример 4).
Определение 6. Результат факторизации кольца А по сравнению по двустороннему идеалу а называется факторкольцом кольца А по а и обозначается Ala.
Примеры идеалов и факторколец. 1) Кольцо А всегда является своим двусторонним идеалом. Точно так же множество, сводящееся к одному элементу 0, есть двусторонний идеал кольца А; он называется нулевым идеалом и обозначается (0). Факторкольцо AI(O) изоморфно А; факторкольцо А/А сводится к 0.
2) Каков бы ни был элемент а кольца A1 множество Aa (соответственно аА) есть левый (соответственно правый) идеал этого кольца; заметим, что, если А не обладает единицей, этот идеал не обязательно содержит а.
3) Пусть M — произвольное множество элементов кольца А. Множество тех элементов X ? А, для которых ху = 0 (соответственно ух = 0), каково бы ни было у ? M1 есть левый (соответственно правый) идеал кольца А; он называется лесым (соответственно правым) аннуля-тором множества М. Если А не обладает делителями нуля, a M содержит элемент ф 0, аннуляторы M сводятся к нулевому идеалу.
4) Идеалы кольца Z рациональных целых чисел, являясь подгруп-
пами аддитивной группы Z, имеют вид пЪ, где п ? N; но и, обратно, очевидно, каждое множество такого вида есть идеал кольца Z; иными словами, идеалы кольца Z совпадают с подгруппамп аддитивной группы Z; идеал пЪ обозначается также (п). При л>0 факторкольцо Z/(re) есть конечное коммутативное кольцо, состоящее из п элементов, внутренними законами которого являются сложение и умножение по модулю л (§ 4, п° 3); заметим, что, вообще говоря, оно обладает делителями нуля: например, 2 0 (mod 4), но 2-2 = 0 (mod 4), так что класс
числа 2 (mod 4) есть делитель нуля в кольце Z/(4).
6. Свойства идеалов
В этом и следующем п°п° рассматриваются только левые идеалы; соответствующие предложения для правых и двусторонних идеалов предоставляем сформулировать читателю.
10 п. Бурбаки
14Н
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
гл. і, § 8
Если А — кольцо и а — его левый идеал, а В — подкольцо, то В П а есть левый идеал кольца В. В частности, если а Cl В, то а есть левый идеал в В; по, обратно, левый идеал в В не.обяза-телььо является левым идеалом в А.
