Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 51

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 201 >> Следующая


Какова бы ни была группа G, левый внешний закон (§ 3, п“ 2), порождаемый законом группы, определяет в G структуру однородного пространства, группой операторов которого служит сама группа G (ибо группа подстановок Г, являющаяся образом GbSg, есть не что иное, как группа левых переносов группы G). Рассмотрим теперь однородное пространство E, имеющее G своей группой операторов, и пусть а — произвольный фиксированный элемент из Е\ отображение а—>аа есть представление G (наделенного определенной выше структурой однородного пространства) в однородное пространство Е, и это — представление на Е, поскольку G действует в E транзитивно. Поэтому (§ 4, теорема I) E изоморфно результату факторизации G (рассматриваемого как однородное пространство) по отношению эквивалентности аа=$а. Ho это отношение, согласуясь слева с законом группы G, имеет вид р ? аНа, где Ha — подгруппа группы G, образованная всеми a g G, оставляющими а инвариантным; а результат факторизации G по этому отношению есть множество всех левых классов по Ha, наделенное внешним законом композиции, относящим каждому оператору a?G и каждому левому классу \На левый класс al,Hа.

Обратно, пусть H — произвольная подгруппа группы G и GJH — фактормножество множества G по отношению эквивалентности $?аН (согласующемуся слева с групповым законом); фактор-закон левого внешнего закона, порожденного законом группы, заданным в G, по этому отношению определяет в GIH структуру
128

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, I 7

однородного пространства, имеющего G своей группой операторов; действительно, достаточно показать, что G транзитивно действует в GIH; но для любых двух элементов и=аН и v=$H фактормножества GIH имеем у=(Ра_1)и. Множество GIH, наделенное этой структурой, называется однородным пространством, определяемым подгруппой H группы G.

В случае произвольной подгруппы H множество G/Н, вообще говоря, не наделено никаким внутренним законом; если же H — нормальная подгруппа, то, как мы видели, внутренний закон на G/H, являющийся факторзаконом закона группы G по H, есть закон группы; » в этом случае не следует смешивать факторгруппу GjH, определяемую этим законом, с однородным пространством G/H.

Резюмируя полученные результаты, приходим к следующей теореме:

Теорема 2. Пусть E — однородное пространство и G — его группа операторов. Пусть, далее, а — любой элемент из E и Ha — подгруппа группы G, образованная всеми операторами а, оставляющими а инвариантным. Tогда однородное пространство E изоморфно однородному пространству GIHa, определяемому подгруппой Ha.

Взяв другой элемент b ? Е, получим, что E изоморфно также однородному пространству GlHb; при этом для P^G такого, что b = Pa, отношения ab = Ъ и p_1apa = а эквивалентны и потому Hb = PiZaP'1. Пересечение всех Hx, где х пробегает Е, есть не что иное, как группа К всех нейтральных операторов однородного пространства Е; таким образом, можно сказать, что К — наибольшая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся во всех Hx.

Отсюда получается характеристика всех реа.гизаций (и° 2) группы G как транзитивной группы преобразований (или, как мы будем еще говорить, транзитивных реализаций группы G):

Предложение 3. Всякая транзитивная реализация группы G есть (с точностью до изоморфизма) группа, образованная подстановками, порождаемыми операторами однородного пространства GIH, где H — некоторая подгруппа группы G, не содержащая никакой ее нормальной подгруппы, отличной от {е}.

Взяв, в частности, # = {е}, получим в качестве трапзитивпой реализации группы G группу всех ее левых переносов.
7

ГРУППЬЇ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

129

7. Примитивные группы

Определим факторструктуры структуры однородного пространства; в силу теоремы 2, можно ограничиться случаем однородного пространства GIH, определяемого подгруппой H группы G. Если наделить G структурой однородного пространства, определяемой левым внешним законом, порожденным законом группы, структура однородного пространства в GIH будет факторструкту-рой этой структуры однородного пространства в G по отношению у ? хН; пусть R — это отношение. Из первой теоремы об изоморфизме (§ 4, теорема 2) следует, что каждое отношение эквивалентности в G/Н, согласующееся со структурой этого однородного пространства, имеет вид SIR, где S — отношение, согласующееся слева с законом группы в G и являющееся следствием R; поэтому (§ 6, теорема I) S имеет вид у g хК, где К — подгруппа группы G, содержащая Н\ и та же первая теорема об изоморфизме показывает, что факторструктура структуры однородного пространства GIH по отношению SlR изоморфна структуре однородного пространства GIK. Резюмируя, имеем:

Предложение 4. Каждая факторструктура структуры однородного пространства GIH, определяемого подгруппой H группы G, изоморфна структуре однородного пространства GIK, где К — подгруппа группы G, содержащая Н\ и обратно, каждая подгруппа К, содержащая Н, определяет факторструктуру структуры однородного пространства GlH.

Рассмотрим, в частности, структуру однородного пространства, определяемую в множестве E транзитивной группой Г его преобразований; согласно предыдущему, однородное пространство E изоморфно Г/А, где А — подгруппа группы Г, оставляющая инвариантным элемент а? Е, и факторструктуры структуры этого однородного пространства находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами © группы Г такими, что А Cl © Cl Г. По крайпей мере две такие подгруппы всегда имеются, а именно А и Г; первая соответствует самому Е, а вторая — однородному пространству, сводящемуся к единственному\элемету; если других подгрупп 0, удовлетворяющих условиям А Cl © Cl Г, не существует, то группу преобразований Г называют примитивной, в противном случае — импримитивной.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed