Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*22) Рассмотрим на множестве E мультипликативно записываемый не всюду определенный внутренний закон, удовлетворяющий следующим условиям: 1° если одна из композиций (xy)z, х (yz) определена, то определена и другая и они равны (см. § 1, упражнение 3); 2° если х, х', у таковы, что ху и х'у (или ух и ух') определены и равны, то х=х’\ 3° для каждого х?Е существуют такие три элемента ех, е% и х'1, что ехх=х, хе'х = х и х~'х=-.ех; будем называть ех левой единицей для х, е'х — правой единицей для х, и ж_1'(доиуская вольность речи) — элементом, обратным к х.
а) Показать, что композиции хх'1, x~lex, е'хх'J, ехех> eWx определены и XX — Єх, X Є у — Є ХіЇу ^ — X , Є\ Єх — — 6 ?.
б) Каждый идемпотент ев E (§ 1, п° 4) является левой единицей для всех тех х, для которых ех определено, и правой единицей для всех тех у, для которых уе определено.
в) Для того чтобы была определена композиция ху, необходимо и достаточно, чтобы левая единица для у совпадала с правой единицей для х. [При доказательстве достаточности условия воспользоваться соотношением Єц=уу~1.} Если xy=z, то x~xz=y, zy~l = x, y~lx~l = z~l, Z 1Z=J/"1, yzr = x'1 (композиции, стоящие в левых частях, определены).
г) Для любых двух идемпотентов е, е' из E обозначим через Ge , множество тех X ?Е, для которых е служит левой, а е' — правой единицей. Показать, что Ge е есть группа относительно индуцированного из E закона.
E называется группоидом, если ояо удовлетворяет еще следующему условию:
4° каковы бы ни были идемпотенты е, е', множество Ge е, не пусто.
д) Пусть E — группоид и a Z Ge е,. Показать, что х-^-ха — взаимно одпозначпое отображение Ge е на Ge е,, уау — взаимно
8*
116
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § 6
однозначное отображение Ge, е, на Ge е, н х —> a 1Xa — изоморфизм группы Ge е на группу Ge,
е) Показать, что закон, определенный в упражнении 46 § 1, в случае, когда все множества семейства 5 равномощны, определяет в множестве 1P структуру группоида.
23) а) Введем на произведении EXE, где E — произвольное множество, мультипликативно записываемый не всюду определенный закон, для которого композиция (х, у) и (y', z) определена лишь если у’=у, и имеет в этом случае значение (х, z). Показать, что ExE, наделенное этим законом композиции, есть группоид (упражнение 22).
б) Пусть (х, у) = (х', у') (R) — отношение эквивалентности, согласующееся с законом композиции, указанным в а) (т. е. такое, что из (х, у) = (х', у') и (у, z) = (y', z') следует (х, z) S= (х', z')); пусть R удовлетворяет, кроме того, следующему условию: каковы бы ни были х, у, z, существует, и притом только одно, t ? E такое, что (х, у) = (z, t), и существует и ? E такое, что (х, у) е= (и, z). Показать, что в этих условиях факторструктура структуры группоида в EXE по R есть структура группы. [Доказать спачала, что факторзакон
всюду определен; затем, что если классы х, у, z удовлетворяют равенству xy-=xz, то y=z; наконец, что (х, х) = (у, у), каковы бы ни были х Є Е, у Є E.]
в) Пусть G — группа, полученная в результате наделения фактормножества EXE по R указанной структурой. Пусть, далее, а — произвольный элемент из E и /0 (х) для каждого х ? E означает класс (а, х) mod/?. Показать, что fa — взаимно однозначное отображение E на G и что отношение (х, у) ^ (х', у') эквивалентно отпошению
/а (*) (fa COr1 = Uy) (/а (у')Г1-
Для коммутативности группы G необходимо и достаточно, чтобы
(х, у) = (х', у') влекло (х, х) ЕЕ (у, у').
*24) Пусть E — множество и /— отображение Em в Е, записываемое в виде /(*!, хт)=х1 ... хт и удовлетворяющее следующим
условиям:
1° имеет место тождество
(X1 ... хт) Xmtl ... Xiim_i = Xi (X2 ¦ ¦ ¦ хт+1) Xmt2 ¦ ¦ ¦ х2т_1;
2° каковы бы ни были а1( а2, ..., am_i>
3/ ¦" QC Cl ^Cl ^ ... (X _ Ii j
X Ci1 ... OiXaui ... am_l (1 і < т — 2),
X • >• (X |^2 • • • ^!Tl— Iх
— взаимно однозначные отображения E на Е.
а) Показать, что для всех индексов і таких, что 1 <; і ^ т — It имеет место тождество
(xI ¦*¦ хт) хт+\ ** • xZm-Л -37I •• • хг (**4+1 ¦ хі*-т) хІ+т +1 *
I
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
117
[Провести индукцию по і, введя в рассмотрение элемент ((^1 ... хт) ¦ ¦ • х2т_1) flifl2 • ¦ • flrn-1*1
б) Каковы бы ни были Ct11 а2, ..., ат_г, существует и?Е такое, что
X = XalCi2 ... ат_2и = иа1а2 ... ат_2х
тождественно относительно х. [Рассуждать, как в предложении 4 § 2.j
в) Рассмотреть в множестве Ett всех последовательностей (щ, и2, ..., щ) по к элементов из E (1 < к т — 1) следующее отношение эквивалентности Rji: каковы бы ни были X1, ..., хт_^,
U1Uz ••• UjiX1X2 ... Xm^Ji- t’i^’2 • ¦ • Iх 2 • • ¦ xm-k’
обозначим фактормножество EhIRil через Efl и «сумму» множеств E1=E, E2, ..., Ет_х (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) — через С. Пусть a ^ Ei, $?Ер для любой последовательности (»lt щ, ..., щ) класса a и любой последовательности (V1, V21 ..., Vj) класса р рассмотрим последовательность
(U1, U2, ..., Ui, V1, V2, ..., Vj)
из Ei*), если и последовательность
(U1, U2, ..., Ui+j^7a, (и i+j^m + 1 ... UiV1V2 ... Vj))
