Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3. Кольцом целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля, не сводящееся к 0.
П р и м е р ы. 1) Кольцо Z рациональных целых чисел есть кольцо целостности; напротив, кольцо эндоморфизмов произвольной коммутативной группы, вообще говоря, содержит делители нуля, отличные от 0 (см. упражнение 2).
2) В кольце с нулевым квадратом (пример III) каждый элемент есть делитель нуля.
4. Подкольца
Определение 4. Подкольцом кольца (с операторами) А называется всякое непустое множество BdA, в котором структура, индуцированная из А, есть структура кольца с операторами.
Предложение 1. Для того чтобы непустое множество В элементов кольца А было подкольцом этого кольца, необходимо и достаточно, чтобы В было подгруппой аддитивной группы А, устойчивой относительно умножения и заданных на А внешних законов.
Справедливость предложения непосредственно вытекает из определений.
Условия, которым должно подчиняться непустое множество BdA, чтобы быть подкольцом, записываются также следующим образом (| 6, предложение 1): B-\-BdB, -BcB1 BBdB и aBdB для каждого оператора а на А. Первые три из этих условий необходимы и достаточны для того, чтобы имеющаяся в А структура кольца (без операторов) индуцировала в В структуру кольца, иными словами, чтобы В было подкольцом в А, рассматриваемом как кольцо без операторов (т. е. наделенном своей структурой кольца, но не наделенном внешними законами).
142
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
Примеры. 1) Каждая подгруппа аддитивной группы Z, имея
вид пХ, где п ? N, есть подкольцо кольца Z; таким образом, подкольца кольца Z совпадают с подгруппами его аддитивной группы. .Ни одно из этих подколец, кроме самого Z и {0}, не обладает единичным элементом.
°2) Рассмотрим в теле С комплексных чисел структуру кольца с операторами, определяемую внешним законом композиции (а, г) —> —> az вещественных операторов а и комплексных чисел z (см. п° 2). При этой структуре единственным подкольцом кольца С, отличным от {0} и С, является множество R вещественных чисел. Действительно, если подкольцо А кольца С содержит не вещественное число z, то оно содержит также z2, а значит, и комплексные числа az + fk2, где а и P принимают всевозможные вещественные значения; но так как отношение z2/z не вещественно, получаемое так множество совпадает с С. Таким образом, множество Z рациональных целых чисел не является подкольцом кольца с операторами С, хотя и является подкольцом в С, рассматриваемом как кольцо без операторов.,,
Замечание. Этот последний пример показывает, что поня-
> тие подкольца кольца с операторами А существенно зависит от внешних законов заданной в А структуры, а не только от его структуры кольца. Очевидно, подкольцо кольца с операторами А останется таковым также при сужении заданных на А внешних законов на подмножества областей их операторов или же при сохранении только некоторых из этих законов и отбрасывании других; но обратное неверно. Однако наличие или отсутствие внешнего закона (п, х) —> пх (п gz> в заданной структуре кольца с операторами не отражается на понятии подкольца относительно этой структуры; это объясняется тем, что всякая подгруппа аддитивной группы А устойчива относительно этого закона.
Если в множестве А рассматриваются несколько структур кольца с операторами, в основе которых лежит одна и та же кольцевая структура, то подкольца относительно этих структур различаются посредством указания тех внешних закопов, относительно которых они устойчивы.
Всякое пересечение подколец кольца А есть снова подкольцо этого кольца; поэтому можно определить подкольцо, порожденное произвольным множеством Xd А, как наименьшее подкольцо, содержащее X.
Предложение 2. Множество всех элементов кольца А, перестановочных с каждым элементом произвольного фиксированного множества M^zA, есть подкольцо этого кольца.
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
143
Действительно, это множество устойчиво относительно умножения (§ 1, предложение 1); оно устойчиво относительно каждого из заданных на А внешних законов, ибо если х перестановочно с z?M, то, в силу (7), для каждого оператора а кольца А имеем (ах) Z = a (xz) = a (zx) = z (oca;). Наконец, если жиг/ перестановочны с zgikf, то а: — у перестановочно с z, ибо (x — y)z = xz — — у Z = ZX — zy = Z (х — у).
Следствие 1. Центр кольца А есть подкольцо этого кольца.
Следствие 2. Множество всех эндоморфизмов коммутативной группы с операторами G есть подкольцо кольца E всех эндоморфизмов группы G.
Действительно, эти эндоморфизмы совпадают с эндоморфизмами групповой структуры в G, перестановочными со всеми заданными на G гомотетиями. Подкольцо кольца E, образованное этими эндоморфизмами, называется кольцом эндоморфизмов группы с операторами G.
5. Отношения эквивалентности в кольце. Идеалы.
Факторкольца
Определим отношения эквивалентности, согласующиеся со структурой кольца А. По теореме 4 § 6, отношение R, согласующееся со сложением и заданными на А внешними законами, имеет вид х — у?Н, где Я —подгруппа аддитивной группы А, устойчивая относительно этих внешних законов. Согласованность отношения R с умножением выражается порознь согласованностью слева и справа (§ 4, предложение 1). Ho согласованность слева означает, что х = у (modR) влечет zxs^zy (modi?), т. е. х — у?\Н влечет zx — zy = z(x — у) ? H для каждого z? А. Это приводит к следующему определению:
