Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
120
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 7
Таким образом, можно сказать, что Г есть реализация GlK в виде группы преобразований.
Представление а—>/а определяет на множестве E внешний закон композиции операторов а? G и элементов х ? Е, при котором композицией а и х служит fa(x) (см. § 3, п° 1); этот закон удовлетворяет следующим двум условиям: а) он ассоциативен относительно закона группы G (§ 5, п° 2), поскольку /а°/р = /ар; б) нейтральный элемент є группы G является нейтральным оператором рассматриваемого внешнего закона, поскольку /Е есть тождественная подстановка множества Е.
В частности, задание любой группы преобразований Г множества E определяет на E внешний закон, удовлетворяющий указанным условиям, при котором композицией оператора о(Г и элемента х і К служит 0 (х).
Покажем, что условия а) и б) характеризуют внешние законы, полученные описанным способом, а именно:
Предложение 1. Пусть E — множество, наделенное внешним законом композиции (а, х)—>ах, имеющим своей областью операторов группу G и удовлетворяющим следующим условиям'.
а) этот внешний закон ассоциативен относительно закона группы G (иными словами, при мультипликативной записи группы G, а($х)=(а$)х, каковы бы ни были а, р, х);
б) нейтральный элемент s группы G есть нейтральный оператор внешнего закона (иными словами, гх = х для всех х?Е).
При этих условиях отображение fa, порождаемое каждым а ? G, является подстановкой множества Е, а отображение a —>fa есть представление G в симметрическую группу
В самом деле, у = ах влечет а~ху = а'1 (ах) = (а'1а)х = гх — х, и обратно, так что х—>ах действительно есть подстановка множества Е\ вторая же часть предложения вытекает из ассоциативности внешнего закона относительно закона группы.
Множество Е, наделенное структурой, определяемой внешним законом, удовлетворяющим условиям предложения 1, называют для краткости множеством, наделенным группой операторов G; говорят также, что в множестве E действует группа G.
S
ГРУППЫ преобразование
121
3. Parnpocmранения группы преобразований
Важный пример представлений группы на группу преобразований доставляют распространения групп преобразований. Если заданы (скажем) три множества F1, F2, F3, их подстановки /і> /2’ /з и множество Mшкалы множеств (Теор. мн., Рез., § 8), имеющей в качестве базы множества .F1, F2, F3, то можно, следуя шаг за шагом по шкале, определить подстановку множества М, называемую распространением /х, /2, /3 на М; будем обозначать ее <рм (J1, /2,/3).
Напомним вкратце, как строится это определение. Следует различать два случая:
I ° М=% (L), где І —множество шкалы, для которого <р^ (J1, /2, /3) уже определено; тогда <рл/(/и 1а /з) есть не что иное, как распространение cpj, (Z1, /2, /3) на множество подмножеств (Теор. мн., Рез., § 2, п° 9);
2° M=PxQ, где P и Q—множества шкалы, для которых фр (/1./2. /з) и «Po (h, h, /з) уже определены; тогда <рм(/і, /г, /з) есть распространение этих отображений на произведения множеств (Теор. мн., Рез., § 3, п° 14).
Если gv g2, g3 — еще три подстановки соответственно множеств F1, F2, F3, то, как непосредственно следует из предыдущего определения,
Фі\/ (/і°Si’ /г°$2> /з° Sa) — Фді (/1 * /г> /з)° Фи(Si’ Si’ ?з)) иными словами, <рм есть представление группы X Sp2X ©>-3 в группу @м. Если T1, Г2, Г3 —группы преобразований соответственно множеств F1, Fi, F3, то сужение <рм на группу T1Xr2Xr3 называется каноническим представлением этой группы в <&м; образ группы T1Xr2Xr3 при этом представлении называется распространением этой группы на множество М.
Пусть теперь G — произвольная группа и Zii-ее представление в группу Ti преобразований множества Fi (і = 1, 2, 3); положив для каждого стб G ом = фіУ (A1 (ст), h2(a), Ji3 (ст)), мы получим представление ст —> стм группы G в @м, называемое распространением представлений H1, h2, h3 на множество М.
В частности, если за G принята группа Г, преобразований множества F1, за hx — тождественное отображение T1 на себя, а за h„ и Л3—постоянные отображения T1 на группы Г2 и Г3, сводящиеся к тождественным подстановкам соответственно множеств F2 и F3,. распространение этих представлений на M по-прежнему называется
122
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
IVX. I, § 7
каноническим представлением T1 в легко видеть (идя шаг за шагом по шкале), что это —ипъективный гомоморфизм F1 в ©^,если только M не принадлежит шкале, имеющей в качестве базы одни множества F2, F3.
Может оказаться, что .множество P СИМ таково, что сужение ом на P есть подстановка этого P для каждого о ^G; обозначив эту подстановку ор, мы будем иметь тогда представление о —> O1, группы G в по-прежнему называемое распространением представлений Ji1, h2, h3 на Р.
Важный пример этого имеем, когда М— множество всех подмножеств произведения KxL множеств К ж L шкалы, a P — множество всех отображений К в L, отождествимое с подмножеством множества M, образованным графиками этих отображений (Теор. мн., Рез., § 3, п° 5); элемент множества М, относимый представлением Ом графику отображения w множества К в L, будет графиком отображения oK(z)-^- oL(w(z)).
