Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Если А—кольцо и Z —подмножество его центра, то закон композиции (а, х) —ах операторов а Є К и. элементов х € А определяет в А (вместе с заданной в А структурой кольца) структуру
2
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
139
кольца с операторами; свойства этой структуры существенно зависят * от рассматриваемого множества К, и следует тщательно отличать друг от друга различные структуры кольца с операторами, которые могут быть получены таким способом (см. главы II и VIII).
Закон, противоположный заданному в кольце с операторами А умножению, как вытекает из (7), вместе со сложением и заданными на А внешними законами также определяет в А структуру кольца с операторами; она называется противоположной первоначально заданной; кольцо с операторами, получающееся при наделении А этой структурой, называется противоположным кольцу А.
В соответствии с общими обозначениями (§ 2, п° 7), в произвольном кольце А через п-х или пх, где rag Z и xg А, обозначают обычно сумму последовательности из п членов, равных х, если п > 0, элемент 0, если га = 0, и элемент —(( — п)-х), если п < 0. Этим определяется внешний закон композиции рациональных целых чисел и элементов из А (который не следует смешивать с умножением в А); этот закон дистрибутивен относительно сложения и, в силу двоякой дистрибутивности умножения в А относительно сложения, удовлетворяет тождествам (7); тем самым он определяет в А вместе с заданными там сложением и умножением структуру кольца с операторами. Ho эта структура по сути ничем не отличается от заданной в А кольцевой структуры, ибо все относящиеся к алгебраическим структурам основные понятия, определенные в § 4 (устойчивые множества, согласующиеся со структурой, отношения эквивалентности, гомоморфизмы), одинаковы для обеих структур.
Более общим образом, структуру кольца с операторами не отличают от получающейся путем присоединения к ее внешним законам еще внешнего закона (л, х) —> пх.
Это замечание позволяет рассматривать кольца без операторов как частные случаи колец с операторами; поэтому во всей оставшейся части настоящего параграфа будут рассматриваться только эти последние. Там, где не будет опасности путаницы, мы будем, допуская вольность речи, употреблять термин «кольцо» в смысле «кольцо с операторами»; в тех же случаях, где утверждаемый результат справедлив лишь для колец без операторов (или, что
140
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
то же, для колец с операторами, единственным внешним законом которых является (п, х) —> пх), это будет специально отмечаться.
3. Делители нуля. Кольца целостности
Пусть А— кольцо. Обобщая терминологию, употребляемую в случае натуральных чисел (Теор. мн., гл. III), элемент а?А называют левым (соответственно правым) кратным элемента Ь? А, если существует eg А такое, что a = cb (соответственно а= Ьс); при этом говорят также, что Ъ есть правый (соответственно левый) делитель элемента а или что а делится слева (соответственно справа) на Ъ.
Если А коммутативно, то, поскольку порядок следования множителей безразличен, говорят просто «кратное» и «делитель».
> Заметим, что если в А нет единицы, элемент а Є А не обязательно
является делителем (правым или левым) самого себя, как это показывает пример кольца с нулевым квадратом (пример III). Точно так же, если А не содержит единицы, то пх, где л <Е Z, не будет вообще кратным х. Напротив, если А обладает единицей е, то п х=п-ех=(пе) х=
— х (пе).
Для каждого элемента х кольца А имеем хг = х (х + 0) = х1 -f + аЮ, откуда аЮ = 0; точно так же и Oz = O: всякое (левое или правое) кратное элемента 0 равно 0. Следовательно, каковы бы ни были х и у, имеем ( — х)у = х( — у) = — (ху), ибо ( — х)у-\-
ху = ( —Xjl-х)у = Oy = 0; отсюда ( — х)( — у) = ху. С помощью индукции по целому п > 0 заключаем, что ( — х)п — хп, если п четно, и (— х)п = — хп, если п нечетно.
Отношение xQ = 0 показывает также, что если кольцо А не сводится к 0 и обладает единицей е, то е =? 0.
В соответствии с введенной выше терминологией каждый элемент X G А должен был бы рассматриваться как (правый и левый) делитель нуля; но, допуская вольность речи, наименование левый (соответственно правый) делитель нуля сохраняют за 0 и каждым элементом а, отличным от 0, для которого существует Ъ, отличное от 0, удовлетворяющее соотношению аЪ = 0 (соответственно Ьа = 0). Можно еще сказать, что левые и правые делители нуля — это не регулярные элементы (§ 2, Ii0 2) кольца А (если только А не сводится к одному элементу 0); действительно,
4
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
141
отношение ах = ау (соответственно ха — уа) равносильно отношению а(х — у) = 0 (соответственно (х—у)а = 0). Элемент а?Л называют нилыготентным, если существует целое я > 0, для которого а71 = 0; взяв наименьшее целое п, обладающее этим свойством, убеждаемся в том, что тогда а —делитель нуля в А. Если в А нет делителей нуля, отличных 0, то, допуская вольность речи, А называют кольцом без делителей нуля.
В кольце без делителей нуля отношение ab = 0 равносильно «а = 0 или & = 0»; отношение ап = Q (где я —целое >0) равносильно а — 0.
