Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
из Ei*і'™+1, если і+/ > т. Показать, что класс этой последовательности в Ei^j (соответственно Еілу_то+і) зависит только От классов a и р; обозначим его a -р. Показать, что этим определен на G групповой закон, что H-Em^1 — нормальная подгруппа группы G и что G/H есть циклическая группа порядка т — 1; доказать, наконец, что E совпадает с классом по Н, порождающим GJll, и что X1X2 ... хт есть не что иное, как композиция последовательности (^11 хг,...,хт) в группе G.
§ 7. Группы преобразований
I. Труппы преобразований
Как мы уже отмечали (§ 6, n° 1), множество всех взаимно однозначных отображений множества E на себя образует группу относительно закона композиции / о g; эта группа обозначается Be и называется симметрической группой (или группой всех подстановок) множества Е. Если E и E'— равномощные множества, ф — взаимно однозначное отображение E на E' и а|) — отображение, обратное ф, то отображение /—>фо/оа|) есть изоморфизм симметрической группы Se на симметрическую группу iBei-
Симметрическую группу интервала [1, га] множества N натуральных чисел обозначают Sn ; это — конечная группа порядка и!;
118
алгебраические структуры
ГЛ. I, § 7
симметрическая группа любого множества, состоящего из п элементов, изоморфна <Зп.
Определение 1. Подгруппы симметрической группы (Be называются группами подстановок, или преобразований, множества E.
Чаще всего употребление терминов «группа подстановок» и «симметрическая группа» ограничивают тем случаем, когда E копечно; к аж да л группа подстановок множества E тогда конечна. Группы подстановок множества Е, состоящего из п элементов, называются группами подстановок степени п.
Примеры. 1) Знакопеременная группа. Положим Fn = j j (/— г) и образуем для каждой подстановки я Є 6П І ^ * < У ^ n
произведение я (Fn) = (я (/')- я (і)). Обозначая через v число
тех пар (І, /), для которых 1<і</<пия(і)>я (/') (называемое
числом инверсий подстановки я), имеем я (Fn) = EjtFn, где Bjt= (— l)v-Каково бы ни было отображение /NbN °(или, более общим образом, в коммутативное кольцо)с, имеет место
П (/ (я (/))—/ (я (о»=П UU) /(0)
1 .< г < у .< n l .< t < > .< п
Число ея пазывается сигнатурой подстановки я; подстановку я называют четной пли нечетной соответственно тому, будет ли ея равно -(-1 или —1. Тождественная подстановка а (нейтральный элемент группы <Sn) — четная. Транспозицией двух натуральных чисел І, /, удовлетворяющих неравенствам 1 і </<; и, называется подстановка х 6 такая, что т (г) =/', т (/’)— і и т (h) = h для всех h, отличных от і и /; транспозиция — нечетная подстановка. Если я и Q- подстановки из <Вп и а = яр, то
О (Vn) =е0я (Fn) = SjlE0Vn, откуда вытекает соотношение
єяо = еяєо’ (1)
показывающее, что отображение я —>¦ ея есть представление Sn на мультипликативную группу, образованную числами + 1 и -1. Множество всех четных подстановок пз fZn , будучи прообразом +1 при этом представлений, является нормальной подгруппой индекса 2
(и следовательно, порядка группы 6П; эта подгруппа называется
знакопеременной группой степени п и обозначается
2
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
119
Обозначим через Ti, где — 1, транспозицию, меняющую
местами і и i' 1 и оставляющую все остальные целые из интервала [1,я] на месте. Группа Qn порождается транспозициями Tj. Чтобы убедиться в этом, применим индукцию по п. Для и = 1 предложение очевидно. Пусть я—любая подстановка из ©„ и я(п)=/с; если к=п, то я принадлежит подгруппе в ©„, образованной подстановками, оставляющими п на месте; эта подгруппа отождествима с @п_п так что к ней применимо предположение индукции. Если же к<С_п, положим
Я = Tn_iTn_2 • • ¦ +
По определению транспозиций, тогда я' (п) = п, п мы приходим к предыдущему случаю.
2) Группы переносов произвольной группы. Левые переносы Yx группы G (§ 2, п° 2) являются ее подстановками (§ 2, предложение 3); множество Г всех этих переносов есть группа подстановок группы G, изоморфная G. Действительно, отображение х —у Yx группы G на Г есть представление (§ 2, предложение 1), и оно взаимно однозначно, ибо отпошение Yi- = Yy влечет хе = уе, т. е. х = у.
Так же устанавливается, что множество Д всех правых переносов группы G есть группа ее подстановок, изоморфная группе, про^-тивоположной G, а значит, и самой группе G.
°3) Движения образуют группу преобразований евклидова пространства; параллельные переносы образуют ее подгруппу, и то же верно для вращений вокруг фиксированной точки (см. главу IX).„
2. Представления группы в группу преобразований
Если ф — инъективный гомоморфизм группы G в симметрическую группу <Ве множества Е, то ф (G) называется реализацией группы G в виде группы преобразований множества Е.
Всякая группа G допускает реализации в виде групп преобразований, а именно групп ее переносов.
Более общим образом, рассмотрим представление группы G в симметрическую группу множества E и обозначим через /„ подстановку множества Е, относимую элементу а ? G этим представлением; образ Г группы G при представлении а —> /а есть группа преобразований множества’ Е,х изоморфная факторгруппе GIK группы G по ее нормальной подгруппе К, образованной теми элементами a?G, для которых /„—тождественная подстановка (§6, теорема 3).
