Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
л
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
125
Предложение 2. Автоморфизмы структуры of ,заданной в множестве Е, образуют группу преобразований этого множества (называемую группой автоморфизмов структуры if, или множества Е, наделенного структурой if).
Пусть if' — изоморфная of структура, определенная в множестве E', ф — изоморфизм if на if' и — обратный изоморфизм; очевидно, отображение/—>гро/огр есть изоморфизм группы автоморфизмов структуры if на группу автоморфизмов структуры if'.
Пример. Группа автоморфизмов группы. Пусть G — заданная группа. Ее автоморфизмы, согласно предложению 2, образуют подгруппу Г симметрической группы iBq. Внутренние автоморфизмы ах группы G (§ 6, п° 4) образуют подгруппу Д группы Г, как следует из непосредственно проверяемого тождества Oxy=CtxO ay. Ouo показывает, кроме того, что отображение х -*¦ ах есть представление G на Д; для того чтобы ах было тождественным отображением G на себя, необходимо и достаточно, чтобы хух~*=у для каждого у g G, т. е. ху = ух для каждого у ? С; иными словами, х должно принадлежать центру Z группы G; в силу теоремы 3 § 6, это «нова показывает, что Z — нормальная подгруппа группы G, и мы видим вместе с тем, что группа А всех внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе G/Z.
Заметим, что группа Д может совпадать с Г; она может также ¦сводиться к тождественному отображению; для этого необходимо и достаточно, чтобы Z=G, т. е. чтобы G была коммутативна. Автоморфизмы группы G, не являющиеся ее внутренними автоморфизмами, иногда называют внешними автоморфизмами этой группы.
Если G наделена структурой группы с операторами, автоморфизмы этой структуры образуют группу Г', очевидно являющуюся подгруппой группы Г всех автоморфизмов заданной в G структуры группы; заметим, что, вообще говоря, группа Л внутренних автоморфизмов не есть подгруппа группы Г'.
¦5. Транзитивные группы
Пусть Г — группа преобразований множества Е. Отношение «существует /g Г такое, что y=f(x)» есть отношение эквивалентности в Е\ действительно, оно рефлексивно, ибо тождественная подстановка и принадлежит Г и х=и(х); оно симметрично, ибо если /g Г таково, что y=f (х), то обратное ему отображение g принадлежит Г и x=g(y); наконец, оно транзитивно, ибо из y=f(x) и z— = g (у) следует Z=g (/ (х)), а если / ug принадлежат Г, то и g°f при-вадлежит Г.
126
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 7
Классы по этому отношению эквивалентности называются классами интранзитивности группы Г; класс интранзитивности, которому принадлежит элемент а?Е,— это множество всех /(а), где / пробегает Г; его называют также орбитой элемента а относительно группы Г. Если существует только один класс интранзитивности (совпадающий тогда с Е), то группу Г называют транзитивной', в противном случае — интранзитивной. Условие транзитивности группы Г может быть выражено следующим образом: при любом заданном a g E для каждого х?Е существует /Є Г такое, что X=/(а).
Примеры. 1) Симметрическая группа Sn очевидно транзитивна; то же верно и для знакопеременной группы SI,,, если п > 2, ибо для любых трех различных целых чисел і, /, к из интервала [1, п] его подстановка а, определяемая условиями а (і)=/, a(j)=k, a(k)=:i и a(h)=h для iiccx h, отличных от /', к («круговая подстановка»), как легко убедиться, —четная.
2) Группа всех левых переносов группы G транзитивна, ибо для нейтрального элемента е этой группы имеем у%(е)—х\ точпо так же и группа всех правых переносов транзитивна.
3) Группа Д всех внутренних автоморфизмов группы G (содержащей более одного элемента) интранзитивна, ибо ах (е)=е, каково бы ни было х g С; элементы одного и того же класса интранзитивности группы Д называются сопряженными элементами группы G; каждый элемент центра группы G уже сам образует класс интранзитивности группы Д.
4) Если Г — интранзитнвная группа преобразований множества E и А — ее класс интранзитивности, множество сужений Ti а А всевозможных подстановок из Г есть транзитивная группа преобразований множества А.
6. Однородные пространства
Пусть E — множество, наделенное группой операторов G (п° 2); говорят, что G транзитивно действует в Е, если (в обозначениях п° 2) образ G в <ВЕ при представлении a—>fa есть транзитивная группа подстановок множества Е.
Определение 3. Однородным пространством называется множество E, наделенное транзитивно действующей в нем группой операторов G. і
6
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
127
Таким образом, каждая транзитивная группа 1' подстановок множества E определяет в E структуру однородного пространства с внешним законом композиции, относящим подстановке or € Г и элементу X ? E элемент а (х).
Пример. “Всякое евклидово пространство есть однородное пространство, группой операторов которого служит группа движений (см. главу IX).0
Замечание. Можно также сказать, что однородное пространство — это множество E с группой операторов G, внешний закон которого удовлетворяет следующему условию: каковы бы ни были х ? E и у g Е, существует a ? G такое, что у=ах. Заметим, что из этого условия, в соединении с ассоциативностью внешнего закона относительно закона группы G, следует, что нейтральный элемент е группы G является нейтральным оператором: действительно так как существует \?G такое, что х=Хх, то Ex= и (Xx)=(є),) х=\х—х.
