Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
в) Если G — группа без операторов, обладающая главным рядом (Gi), и множество всех ее подгрупп удовлетворяет условию минимальности, то каждая факторгруппа GJGitx есть прямое произведение конечного числа своих простых подгрупп. [Cm. упражнение 15.]
*18) Пусть (H1) — произвольное семейство устойчивых подгрупп группы с операторами G; G по-прежнему называют прямым произведением этого семейства, если: 1° при і Фу. каждый элемент из H^ перестановочен с каждым элементом из H^ 2° каково бы ни было х? G, для всякого і существует однозначно определенный элемент X1 € H1 такой, что Z1=C для всех индексов і, кроме конечного их числа I1,12,. ..,In, и х = Xli xl2 ... X1 . G называется вполне приводимой, если она является прямым произведением семейства своих простых подгрупп.
а) Показать, что если G есть прямое произведение семейства своих подгрупп (H1), то она изоморфна подгруппе их произведения
= притом отличной от Н, если семейство (H1) бесконечно;
і
вывести отсюда, что H1 — нормальные подгруппы группы G.
б) Пусть G — группа с операторами, порождаемая объединением семейства (Я? Т своих простых устойчивых нормальных подгрупп, а К — устойчивая нормальная подгруппа. Показать, что G есть прямое произведение К и некоторого подсемейства (HXzj- [Рассмотреть множества LcI, обладающие тем свойством, что устойчивая подгруппа, порожденная объединением К и подсемейства (HJ1 ^ L, является прямым произведением К и этого подсемейства; взять в множестве этих множеств L максимальный элемент.]
в) Если вполне приводимая группа является прямым произведением двух конечных семейств (Hi)i е J И (H')j g J своих простых
8 Н. Бурбани
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. X, § 6
подгрупп, то существует взаимно однозначное отображение ф множества I на J такое, что H1ff (i) изоморфна Hi для каждого і ? I.
19) Пусть L — свободный моноид (§ 1, п°3), порожденный нейтральным элементом е и двумя семействами (а:), (уJ с одинаковым множеством индексов. Показать, что его фактормножество, полученное путем отождествления всех композиций X1U1 и JzlXl с е [§ 4, упражнение 2в], есть группа, порожденная семейством (xt); опа называется свободной группой, порожденной этим семейством. Показать, что вс якая группа G, порожденная семейством (аь) своих элементов, изоморфна факторгруппе свободной группы СУ, порожденной этим семейством; эта факторгруппа всегда может рассматриваться как получепная путем отождествления каждого элемента некоторого семейства (х} ) элементов из C с соответствующим элементом второго такого семейства (у}) (имеющего то же множество индексов) [см. § 4, упражнение 2в]; говорят, что G есть группа, порожденная образующими а , подчиненными определяющим соотношениям х^=у^.
*20) а) Пусть G — конечная группа порядка тп, обладающая циклической нормальпой подгруппой H порядка т, факторгруппа G/Н по которой — циклическая (порядка п). Показать, что G порождается двумя элементами а, Ъ, удовлетворяющими условиям ат—е, Ьп = а', баб'1 = ^, где г и s — целые такие, что г (s— 1) и sn — 1 кратны те. [Взять за а элемент, порождающий Н, ы за b — элемент класса, порождающего G/Н; выразить элементы b''ahb~h через степени а и применить это, в частности, к случаям кт=п, к= 1 и h= 1, /с=?-.]
б) Обратно, пусть G (те, п, г, s) — группа, порожденная двумя образующими а, Ъ, подчиненными определяющим соотношениям ат=е, bn=ar, bab~l=as, где тип — целые числа > 0, а г и s — любые целые числа. Показать, что если m,r(s — 1) и sn — 1 не все равны нулю, то G(m, п, г, s) — конечная группа порядка qn, где g— наибольший общий делитель чисел т, |r(s —1)| и | sn — 1 |; ее подгруппа H, порожденнаая элементом а, есть нормальная подгруппа порядка q, а G/Н — циклическая группа порядка п. [Доказать, что каждый элемент группы С(те, п, г, s) может быть записан в виде ахЬУ, где х и у — целые, удовлетворяющие неравенствам 0 х q — 1, 0 < у <гс — 1, и что G (те, п, г, s) изоморфна группе, образованной парами (х, у) таких целых чисел, с законом композиции
(Т ,/Wr' 7/1= f(x+x'sV’ У+У’)> если JZ-I-J/'< И—1,
I (x+x'sV + r, у-\-у’—п), если у \-у' > п,
где первые координаты в правой части — суммы по модулю q.] Исследовать случай m=r (s — l)=sn — 1=0.
G (п, 2, 0, — 1) называется диэдралъной группой порядка ‘In и обозначается S2n; G (4, 2, 2, —1) есть группа восьмого порядка,
ГРУППЫ И ГРУППЫ G ОПЕРАТОРАМИ
115
называемая кеатернионной группой и обозначаемая С. Показать, что в & каждая подгруппа нормальна и что пересечение ее подгрупп, отличных от \е\, есть подгруппа, отличная от >е]. Доказать, что ©8 не изоморфна С.
*21) Пусть E — мультипликативно записываемая неассоциативная квазигруппа (§ 5, упражнение 5), обладающая идемпотентом е и такая, что (ху) (zL) = (xz) (yt), каковыбьпш были х, у, z, t. Обозначим через и (х) элемент из E, для которого и(х)е=х, и через V (х) — элемент, для которого ей (х)~ х. Показать, что закон композиции (х, у) —>
- ¦ u(x)v(y) есть коммутативный групповой законна?, для которого е служит нейтральным элементом, что отображения х - - хе и у —> еу — перестаповочные эндоморфизмы этой групповой структуры И ЧТО XIJ= = и (хе) v(ey). [Вначале установить тождества е (ху)-=- (ех) (еу), (ху) е= = (хе) (уе), е (хе) = (сх)е‘, далеепринятьвовнимание, что отношения х~у, ех=су и хе=уе эквивалентны.] Обращение.