Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 44

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 201 >> Следующая


10) Пусть H — нормальная подгруппа группы С, содержащаяся в центре последней. Показать, что если факторгруппа GfH моно-генна, то группа G коммутативна.

11) Если все элементы группы G, отличные от нейтрального, имеют порядок 2, то G коммутативна; если G конечна, то ее порядок п является тогда степенью двойки. [Индукцией по п.\

12) Пусть G — группа такая, что для некоторого целого п > 1 и всех x^G, y?G имеет место равенство (ху)п—хпуп. Пусть Gtnj означает множество всех хп, где х пробегает G. a G(n) — множество тех х ? G, для которых хп = е. Показать, что G(n) и G(n)— нормалыше подгруппы группы G; если G конечна, то порядок G<n) равен индексу G(n).

13) Пусть А — непустое множество элементов группы G; его нормализатором называют множество N тех х ? G, для которых хАх х=А, а централизатором — множество К тех х Q G, для которых хах~1=а, каково бы пи было а ? А. Показать, что N — подгруппа группы G, а К — нормальная подгруппа группы N. Нормализатор TV подгруппы А группы G есть наибольшая из подгрупп Я этой группы, имеющих А своей нормальной подгруппой.

14) Обозначая через D (G) коммутант, или производную группу, группы G, можно определить по индукции к-ю производную группу Dh(G) последней как коммутант D (Dh'1 (G)) группы Dh_l(G). Показать, что Dh (G) есть подгруппа группы G, обладающая тем свойством, что для всякого эндоморфизма <р последней Cf(Dh(G))CzDb(G).
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § Г)

Для всякой подгруппы H группы G имеем Dk(H) с: Dk(G); если H нормальна, то Dk (G/Н) изоморфна (HDk (С))/Н.

Группу G называют разрешимой (или метабелееой), если она обладает композиционным рядом (Gi), все факторы которого GiJGitj коммутативны. Показать, что для того, чтобы G была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы существовало целое к такое, что Dk (G)=',е}. Вывести отсюда, что каждая подгруппа и каждая факторгруппа разрешимой группы разрешимы.

*15) Пусть Jv — некоторое множество устойчивых подгрупп группы с операторами G; говорят, что Jy удовлетворяет условию максимальности (соответственно условию минимальности), если каждое его подмножество, упорядоченное по включению, обладает максимальным (соответственно минимальным) элементом.

Предположим, что множество всех устойчивых подгрупп группы с операторами G удовлетворяет условию минимальности.

а) Доказать, что никакая устойчивая подгруппа группы G, отличная от С, не изоморфна G. [Рассуждая от противного, показать, что из существования такой подгруппы следовало бы, что G обладает бесконечным строго убывающим рядом устойчивых подгрупп.]

б) Назовем минимальные элементы множества всех устойчивых нормальных подгрупп группы С, не сводящихся к е, ее минимальными нормальными подгруппами. Пусть ІВД — некоторое множество минимальных нормальных подгрупп группы GuS — наименьшая ее устойчивая подгруппа, содержащая все подгруппы, принадлежащие 9К; показать, что? есть прямое произведение конечного числа минимальных нормальных подгрупп группы G. [Пусть (Mn) — последовательность минимальных нормальных подгрупп группы С, принадлежащих Ш, такая, что Мп<.г не содержится в устойчивой подгруппе, порожденной объединением подгрупп M1, M2,..., Mn; пусть Sk — устойчивая подгруппа, порожденная объединением всех Mn с индексами п „> к; показать, что с некоторого места Siltl=Sil и, следовательно, последовательность (Mn) конечна; затем применить предложение 7.]

в) Если G — группа без операторов, то каждая ее минимальная нормальная подгруппа M является прямым произведением конечного числа изоморфных друг другу простых подгрупп. [Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы М; показать, что M — наименьшая подгруппа группы G, содержащая все аЛ'а-1, где а пробегает G, и применить б) к группе М.)

16) Если множество всех устойчивых подгрупп группы с операторами G удовлетворяет условию максимальиости или минимальности (упражнение 15), то G обладает рядом Жордана — Гельдера. [Рассмотреть для подгруппы H группы G максимальный элемент множества всех устойчивых нормальных подгрупп группы Я, отличных от H.]

*17) Пусть G — группа с операторами; ее композиционный ряд (Gi) назовем нормальным, если все Gi — устойчивые нормальные под-
14

ГРУППЫ И ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ

ИЗ

группы группы G; главным рядом называется строго убывающий нормальный ряд, не обладающий никаким отличпым от него строго убывающим нормальным уплотнением.

а) Показать, что любые два нормальных ряда (Gi) и (Ilj) группы G обладают эквивалентными нормальными уплотнениями. [Применить теорему Шрейера, рассматривая надлежащую область операторов на G.] Дать второе доказательство этого предложения, «вставляя» в ряды (Gi) и (Hj) соответственно подгруппы Giy=GiH(Gi^1ZZ3) и H1ji=Hj^i(HjtlGi).

б) Если G обладает главным рядом, то любые два ее главных ряда эквивалентны; для каждого строго убывающего нормального, ряда 2 существует главный ряд, являющийся его уплотнением Вывести отсюда, что для того, чтобы G обладала главным рядом, необходимо и достаточно, чтобы множество всех ее устойчивых нормальных подгрупп удовлетворяло условиям максимальности и минимальности.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed