Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
L
б) Пусть ст— произвольная подстановка множества E и (E1) — его разбиение, образованное классами интранзитивности моногенной подгруппы группы ©е, порождаемой этой подстановкой. Компонента Ct1 подстановки ст в группе T1, соответствующей E , порождает в этой группе моногенную подгруппу, транзитивную в E1, и называется циклической подстановкой или циклом; CT1 называются циклическими компонентами подстановки ст. Если число циклических компонент подстановки ст, не сводящихся к тождественной подстановке, конечно, то a равна их произведению (в любом порядке, поскольку циклические компоненты подстановки попарно перестановочны). В случае, когда какое-нибудь E1 состоит из конечного числа элементов, их можно расположить В конечную последовательность так, чтобы
в1+1 = ст(в;) (1 і л — 1) и dj — соответствующую Цикли-
ческую компоненту подстановки а обозначают тогда (aLa2 ... ап) ж говорят, что ее длина равна п. Для любой подстановки т из <5Д ммеем
Т-(я1й2 ... ап)-T-I= (Т (Яд) T (а2) . . . т (ап)). (1)
*7) а) Показать, что каждая подстановка из ©п есть произведение транспозиций. [Индукцией по числу элементов, не инвариантных относительно рассматриваемой подстановки.]
б) Вывести, что ©п порождается п — 1 транспозициями (1 2), (1 3), . . . , (1 п), а также п — 1 транспозициями (1 2), (23),..., (п — 1 л).[Воспользоваться формулой (1) упражнения 6.]
в) Вывести, что Sn порождается двумя подстановками (1 2) и (1 2 3 ... л). [Тем же методом.]
*8) а) Показать, что каждая подстановка ст 6 Sln есть произведение циклов длины 3 (не являющихся, вообще говоря, ее компонентами). [Доказать это утверждение для произведения двух транспозиций и использовать упражнение 7а.]
б) Вывести, что Sln порождается п — 2 подстановками (1 2 3), (1 2 4),.. ., (1 2 я). [Воспользоваться формулой (1) упражнения 6.]
в) Вывести, что Sln при нечетном п порождается двумя подста-
новками (12 3) и (12... п), а при четном п — двумя подстановками (1 2 3) и (2 3 ... л). <
ГРУШіЬї ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
133
г) Показать, что нормальная подгруппа группы Stnl содержащая цикл длины 3, совпадает с Sln. [С помощью формулы (1) упражнения 6 доказать, что эта подгруппа содержит все циклы (1 2 к), где 3 ^ к п. ]
9) Группа преобразований Г множества E называется г-кратно транзитивной, если для любых двух последовательностей (al7 а2, ...
..., аг) и (bi, b2, . . ., Ьг) по г различных элементов из E существует подстановка CTgT такая, что a Iai)= bj для I і <; г, и это свойство не имеет уже места хотя бы для одной пары последовательностей по /•-(-1 различных элементов из Е.
а) Показать, что r-кратно транзитивная группа при г>1 примитивна. [Применить предложение 5.]
б) Порядок г-кратно транзитивной группы подстановок Г степени п имеет вид л (л— 1) ... (и—г+1) d, где d—делитель (п — г)! [Рассмотреть подгруппу подстановок из Г, оставляющих инвариантными г элементов, и вычислить ее индекс.]
*10) Пусть Г — r-кратно транзитивная группа подстановок множества Е, состоящего из п элементов, и п — s — число элементов множества Е, инвариантных относительно нетождественной подстановки a g Г. Показать, что если s > г, то существует подстановка TgT такая, что сГ'тспГ1 — нетождественная подстановка, оставляющая инвариантными JS3 п — 2 (s— г-j-l) элементов из Е. [Воспользоваться разложением а на ее циклические компоненты (упражнение 6) и формулой (1) упражнения 6.] Показать также, что при s = г существует т Є Г, ДЛЯ которого a iXOX'1 есть цикл длины 3. Вывести отсюда, что если г >¦ 3 и Г не содержит знакопеременной группы ?Jn, то s^2r — 2 для каждой подстановки из Г. [Использовать упражнение 8.] Нако-
Jl
нец, доказать, что если Г не совпадает с Sln или с то г
*11) а) Показать, что знакопеременная группа Sln ї (п — 2)-кратно транзитивна.
б) Показать, что группа St1l при п =р 4 простая. [Используя а), метод упражнения 10 и упражнение 8г, показать, что SI11 простая при п > 6; аналогичным образом исследовать случай п 6.]
12) Пусть Г — транзитивная группа подстановок множества Е. Показать, что каждый класс интранзитивности ее нормальной подгруппы Д является классом импримитивности для Г. [Воспользоваться предложением 5.] Вывести отсюда, что если Г примитивна, то Д транзитивна.
*13) Пусть Г — интранзитивная группа подстановок множества Е, А— ее класс интранзитивности и B= CA — его дополнение. Обозначим через Гд и Г/j группы, образованные сужениями подстановок из Г соответственно на А и В, через Дд и А в — подгруппы группы Г, оставляющие инвариантными каждый элемент соответственно из А и В. Показать, что Дд и Дв — нормальные подгруппы группы Г и что Гд изоморфно Г/ДЛ, а Г в изоморфно Г/ Ав\ обозначая через
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, I 7
Дав (соответственно Два) группу, образованную сужениями подстановок из Ад (соответственно Au) на В (соответственно А), показать, что факторгруппы Гд/Дпа, Tb/Aab и Г/(АаАв) изоморфны. [Примепить теорему 6 § 6 к представлению а -* стл, относящему каждой подстановке ст ? Г ее сужение на А.]
